Questões Comentadas de Matemática

$\dfrac{1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} +\dfrac{1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{x_{n-1}} + \sqrt{x_n}} = \dfrac{n-1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}}$ Uma dica (pode haver outras formas de resolver) é usar uma indução sobre $n$ Então, começamos verificando que a expressão é verdadeira para $n=2$ (verifica!) Agora, vamos nos ver com uma hipótese: a de que se a expressão é válida para $n$ então será válida para $n + 1$. Se a expressão é válida para $n$ podemos verificar se a seguinte expressão é verdadeira: $\dfrac{n-1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}} + \dfrac{1}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x_{n+1}}} =  \dfrac{n}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}}}$   Agora podemos fazer:   $\dfrac{n}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}} - \dfrac{n}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}} - \dfrac{1}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x_{n+1}}}$ $\dfrac{n(\sqrt{x_{n+1}} - \sqrt{x_{n})}}{(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}) (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}})} = \dfrac{(\sqrt{x_{n+1}} - ...

 Eu sempre me incomodei bastante com a tabela do Se... então (implicação). Afinal, a tabela do "e" e a tabela do "ou" são bastante lógicas, se é que eu posso usar este termo numa disciplina que se chama lógica! Poderia dizer também que são tabelas que fazem sentido, afinal, o "e" só resulta "V" se ambos forem "V"; e o "ou" só resulta "F" se ambos forem "F". Mas, e quanto à implicação? Tive minha curiosidade atendida no livro de DAVID J. HUNTER, Fundamentos da Matemática Discreta, em um breve trecho. Esta postagem é uma adaptação minha do que consta lá! Então, podemos usar diversos exemplos! Eu vou usar dois que eu inventei ao escrever esta postagem, e, depois, vou repetir o exemplo do livro citado. Suponha que uma mãe diga o seguinte a seu filho Mateus: Filho, se você fizer todos os exercícios de Matemática, vai tirar nota boa na prova. Suponha então que Mateus quisesse negar este conselho de sua mãe, prova...

  Parei para tentar entender o motivo de, sempre que desejamos deslocar para a direita uma função, por exemplo, subtraímos ao invés de adiconarmos. Assim, se queremos deslocar para a direita, em duas unidades inteiras, a função quadrática $f(x) = x^2 - 2x + 1$, basta substituirmos $x$ por $x - 2$, ou alterarmos a variável para $w$, fazendo $x = w - 2$. Então, minha reflexão levou-me ao seguinte questionamento: quando deslocamos nossa figura para a direita em duas unidades inteiras, qual a imagem que desejamos obter de $x = 3$? bem desejamos obter a imagem de $ x = 1 $ na figura original, ou seja, o que fazemos é tomar $x=3$ na figura deslocada e voltarmos para buscarmos a imagem de $x=1$ da figura original, obtendo, assim, o efeito de deslocar o gráfico para a direita em 2. Eis, então, a razão de subtrairmos. Assim, ao deslocarmos nossa figura em duas unidades inteiras para a direita, a imagem de $x = 3$ tem de ser buscar a imagem de $x = 1$ da figura original, ou seja, substituímo...

Esta é uma demonstração algébrica para a equação do segundo grau. De fato, esta equação costuma ser simplesmente apresentada assim: dados os números reais $a, b, c$, com $a \neq 0$ então as soluções reais da equação $ax^2 + bx + c = 0$ serão dadas por: $$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ onde o sinal $\pm$ irá significar que uma solução será obtida com o sinal de $+$ e a outra com o sinal de $-$ . Note como certas coisas em Matemática são intuitivas: caso a expressão ${b^2 - 4ac}$ seja igual a zero, então não haverá distinção entre adicionar ou subtrair zero, logo, a equação terá apenas uma solução. Por outro lado, a expressão $b^2 - 4ac$ pode ser negativa, e as raízes quadradas somente estão definidas, no universo dos números reais, para números positivos. Concluímos, então, que, caso $b^2 - 4ac < 0$ então a equação não terá raiz real. Isto não é lógico? O valor $b^2 - 4ac$ é representado pela letra $\Delta$ (delta), assim, dizemos que $\Delta = b^2...

Você já notou que, na tabuada, que 7 x 9 = 63 e que 8² = 64. Notou também que 3 x 5 = 15 e que 4² = 16. A explicação desta simples constatação e sua generalização está nos produtos notáveis, mas especificamente na famosa relação que nos diz que (a + b)(a - b) = a² - b², logo, se tivermos b = 1, teremos que (a + 1)(a - 1) = a² - 1, já que 1² = 1. Desta forma, a nossa resposta à pergunta inicial seria 90² - 1 = 8100 - 1 = 8099. Não é interessante? Você já havia percebido esta relação na nossa tabuada? Esta e outras conclusões interessantes podem ser encontradas no livro "Tabuada para quem odeia decorar" que encontra-se disponível na loja da Uiclap, link abaixo. O preço? se comparado ao benefício, você verá que não custa praticamente nada.  https://loja.uiclap.com/titulo/ua29201 O Livro "Tabuada para quem odeia decorar" é praticamente um caderno de exercícios sobre a operação de multiplicação. Ele trata, inicialmente, de métodos para aprender a tabuada com o mínimo de ...

Este livro é um projeto de contar uma história de ficção com Matemática. Nele, diversos tópicos importantes são apresentados, dentre eles: a atividade em grupo, a persistência, a redução do problema que antecede a solução de um problema maior, além de valores como o da amizade e do desenvolvimento em grupo. Para encontrar o livro, basta procurar por "Conspiração dos Monstros" no google. O livro está disponível na Amazon. E o apoio que se pede aqui é apenas o de conhecer a proposta, gratuitamente, dando uma breve olhadela no Capítulo I, que fica disponível no ambiente da Amazon, no link "Dê uma olhada". A proposta é de um paradidático diferente! mas que pode despertar valores, como a paixão pelo estudo e pelo desenvolvimento da sociedade.

Segue link do meu trabalho com diversas técnicas de manipulação do soroban, com exemplos e figuras mostrando os estágios de cada movimento. Apesar de extenso, o leitor pode ir direto ao capítulo que lhe interessa, sem necessariamente ler os anteriores. O Soroban e sua Aritmética Concreta - Fernando F de S Filho Caso o link não funcione, o leitor pode acessar o banco de dissertações do PROFMAT , e procurar pelo trabalho "O Soroban e sua Aritmética Concreta". 

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No link a seguir eu apresento todas as questões da primeira fase de OBMEP 2017 - Nível 3 respondidas. Click aqui para ver arquivo PDF

Segue abaixo o link para o arquivo com as minhas soluções comentadas. As soluções aqui apresentadas procuram ser diferentes das soluções do livro, além de mais detalhadas, buscando um texto mais explicativo. Mas foram conferidas com o gabarito do livro. O diferencial, portanto, é uma abordagem geralmente um pouco diferente para se encontrar a mesma solução e, ainda, um detalhamento maior dos passos. Eis o link para o arquivo PDF https://drive.google.com/file/d/0By4CuOCjZQCLeTBuanhfaHRjSFE/view?usp=sharing Obs.: A questão de número 10 foi a que tive mais dificuldade. Na verdade, não consegui resolvê-la quando a encarei de frente porque fiquei buscando, sem sucesso, uma saída direta e algébrica. Depois que vi, na resposta do livro, que a solução decorria da semelhança dos triângulos envolvidos, procurei justificar a estratégia usada na solução, ou seja,  a manutenção da mesma razão de semelhança entre os raios das circunferências inscritas. Esta justificativa é um diferencial q...

É dado um quadrado ABCD de lado a. Determine o raio da circunferência que contém os vértices A e B e é tangente ao lado CD. Abaixo temos uma figura feita no Geogebra para ilustrar a situação. Experimente arrastar os botões azuis! :) A questão deseja apenas que o raio seja expresso em função do lado do quadrado. A primeira dica é você tentar resolver esta questão sozinho! A segunda dica para resolver esta questão é marcar o centro da circunferência, destacar um triângulo retângulo específico e usar o Teorema de Pitágoras. Abaixo o link com uma resolução. Link para arquivo PDF

Chamamos de Ternos Pitagóricos ou Trincas Pitagóricas conjuntos de três números naturais que satisfazem o Teorema de Pitágoras. Neste artigo, veremos como gerar a trinca 13, 5 e 12 a partir dos números 3 e 2, conforme ilustrado na figura.     Clique aqui para acessar o artigo em PDF

Acesse o link abaixo para ter acesso a uma breve explicação sobre a Sequência de Fibonacci. Link para arquivo PDF

Questão: Na figura, ABCD é um quadrado de lado igual a 10. Os pontos E, F, G e H são pontos médios. Quanto mede a área do polígono figura IJKL? Clique no link e veja a questão e minha solução! Arquivo PDF com a questão e uma solução :)  

Supremo de Conjunto com Máximo, Supremo de Intervalo Aberto e um Exemplo Misto (Elon) Supremo de Conjunto com Máximo, Supremo de Intervalo Aberto e um Exemplo Misto (Elon) Fernando Francisco de Sousa Filho 29/07/2016 Exemplo 10: Se x  ⊂  K possui um elemento máximo, este será o seu supremo, e se X possuir um elemento mínimo, este será seu ínfimo. Reciprocamente, se supX  ∈  X então supX é seu máximo; se infX  ∈  X então infX é seu mínimo. Seja b o elemento máximo de X , assim, b é cota superior de X , e se x  <  b então x  ∈  X e x não é cota superior de X . Assim, b é a menor das cotas superiores, até porque, às demais cotas superiores só resta ser maior do que b , logo b  =  supX . Reciprocamente, supX  ∈  X implica que, dado x  <  supX existe x ’ ∈  X tal que x  <  x ’ <  supX , logo x  <  supX  ⇒  x não é o elemento máximo de X . Por outro lado, y  >  supX  ⇒  y ∉ X , logo, como supX  ∈  X temos que supX é o elemento máximo...

A Propriedade Arquimediana dos Reais e a Densidade de em por Rudin (pág. 9) A Propriedade Arquimediana dos Reais e a Densidade de ℚ em ℝ por Rudin (pág. 9) Fernando Francisco de Sousa Filho 21/07/2016 (a) Se x  ∈ ℝ,   y  ∈ ℝ,  e x  > 0 então existe um inteiro positivo n tal que nx  >  y (b) Se x  ∈ ℝ,   y  ∈ ℝ,  e x  <  y então existe um p  ∈ ℚ tal que x  <  p  <  y . A parte (a) é conhecida como a propriedade arquimediana dos reais. A parte (b) pode ser descrita assim: ℚ é denso em ℝ , ou seja, entre quaisquer dois números reais existe um número racional. Prova (a) Seja A o conjunto de todos os elementos nx , onde n pode assumir qualquer valor inteiro positivo. Se (a) fosse falsa, teríamos nx  ≤  y , ou seja, y seria uma cota superior do conjunto A . Por outro lado, A é subconjunto dos reais, portanto, se é limitado superiormente, possui a menor cota superior dentro de ℝ . Seja então α  =  supA . Como x  > 0 e x  ∈  A te...

O conjunto das raízes quadradas de 2 por falta não possui máximo O conjunto das raízes quadradas de 2 por falta não possui máximo Fernando Francisco de Sousa Filho 05/07/2016 Exercício: Prove que o conjunto E das raízes quadradas de 2 por falta não tem máximo. Seja r um número tal que r ²  < 2 . Temos de mostrar que, qualquer que seja o número r , existe um outro número s tal que ⎧ ⎨ ⎩ r  <  s      r ²  <  s ²  < 2  A ideia inicial é tomarmos s  =  r  +  ( 1 )/( n ) , com n  ∈ ℕ , n  > 0 . Fazendo assim, garantimos que teremos r  <  s . Vamos, então, procurar determinar, dado um r qualquer com r ²  < 2 , um valor de n de tal forma que r ²  <  s ²  < 2 . Agora, tanhamos fé... s ²  =  r ²  +  ( 2 r )/( n )  +  ( 1 )/( n ² )  < 2 Desenvolvendo a inequação, temos: r ²  +  ( 2 r )/( n )  +  ( 1 )/( n ² )  < 2 ⇒  r ²  +  ⎛ ⎝ 2 r  +  ( 1 )/( n ) ⎞ ⎠ ( 1 )/( n )  < 2 Aqui entra um ponto importante...