Deslocamentos de funções e lugares geométricos no plano.

  Parei para tentar entender o motivo de, sempre que desejamos deslocar para a direita uma função, por exemplo, subtraímos ao invés de adiconarmos. Assim, se queremos deslocar para a direita, em duas unidades inteiras, a função quadrática $f(x) = x^2 - 2x + 1$, basta substituirmos $x$ por $x - 2$, ou alterarmos a variável para $w$, fazendo $x = w - 2$.

Então, minha reflexão levou-me ao seguinte questionamento: quando deslocamos nossa figura para a direita em duas unidades inteiras, qual a imagem que desejamos obter de $x = 3$? bem desejamos obter a imagem de $ x = 1 $ na figura original, ou seja, o que fazemos é tomar $x=3$ na figura deslocada e voltarmos para buscarmos a imagem de $x=1$ da figura original, obtendo, assim, o efeito de deslocar o gráfico para a direita em 2. Eis, então, a razão de subtrairmos. Assim, ao deslocarmos nossa figura em duas unidades inteiras para a direita, a imagem de $x = 3$ tem de ser buscar a imagem de $x = 1$ da figura original, ou seja, substituímos $x$ por $x - 2$ e, assim, para $x = 3$ de fato, teremos a imagem de $x = 1$, produzindo o efeito de deslocarmos nosso gráfico para a direita em 2.

Ao deslocarmos a figura para a esquerda, é análogo. Suponhamos que queremos deslocar nosso gráfico para a esquerda em 5 unidades. Desta forma, queremos, por exemplo, que a imagem de $-7$ seja a imagem de $-2$ da figura original. Assim, mudamos nossa variável de $x$ para $x+5$.

Este mesmo raciocínio se aplica ao deslocarmos a figura para cima e para baixo.

Suponhamos que desejamos que nossa figura suba 2 unidades inteiras. Neste caso, desejamos que o valor da abscissa ($x$) para $y=8$, por exemplo, seja igual ao valor de $x$ para $y = 6$ da figura original Então substituímos nosso $y$ por $y - 2$, assim, nesta nova expressão, quando fizermos $y = 8$, estaremos, na verdade, formando pontos com todos os valores de $x$, na figura original, para $y = 6$. O efeito é, portanto, termos um deslocamento do gráfico duas unidades inteiras acima.

Desta forma, se queremos deslocar a função $y = 2x - 1$ dois inteiros à direita e três inteiros para cima, basta fazermos: $y - 3 = 2 (x-2) - 1 \Rightarrow y=2x -2$.

Outros exemplos:

a) Deslocar a função $y = x^2 - 2x + 1$ duas unidades inteiras para a direita: fazemos:

$$ y = (x- 2)^2 - 2 (x - 2) + 1 \Rightarrow y = x^2 - 2x + 4 - 2 x + 4 + 1$$

Ou seja, 

$$y=x^2 - 4x +9$$

b) Vamos deslocar a equação da circunferência $x^2 + y^2 = r^2$ para o centro (2,3): fica assim: 

$$ (x - 2)^2 + (y-3)^2 = r^2$$