Como deduzir a fórmula de Báskara para equações do segundo grau?

Esta é uma demonstração algébrica para a equação do segundo grau. De fato, esta equação costuma ser simplesmente apresentada assim: dados os números reais $a, b, c$, com $a \neq 0$ então as soluções reais da equação $ax^2 + bx + c = 0$ serão dadas por:

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

onde o sinal $\pm$ irá significar que uma solução será obtida com o sinal de $+$ e a outra com o sinal de $-$ .

Note como certas coisas em Matemática são intuitivas: caso a expressão ${b^2 - 4ac}$ seja igual a zero, então não haverá distinção entre adicionar ou subtrair zero, logo, a equação terá apenas uma solução.

Por outro lado, a expressão $b^2 - 4ac$ pode ser negativa, e as raízes quadradas somente estão definidas, no universo dos números reais, para números positivos. Concluímos, então, que, caso $b^2 - 4ac < 0$ então a equação não terá raiz real.

Isto não é lógico?

O valor $b^2 - 4ac$ é representado pela letra $\Delta$ (delta), assim, dizemos que $\Delta = b^2 - 4ac$.

Mas, podemos deduzir esta fórmula? Claro que sim! Veja só:

Temos de encontrar o valor de $x$ na expressão

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Para solucionar esta questão, o que fazermos é ajustar esta expressão a uma outra conhecida:

$$(x + k)^2 = x^2 + 2kx + k^2 \qquad \qquad \qquad (1)$$

Acompanhe a manipulação algébrica:

Inicialmente, temos de nos livrar do $a$ em $x^2$, e, como $a \neq 0$, o que fazemos é dividir toda a equação por $a$. Obtemos uma equação ajustada que fica assim:

$$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$$

Agora, temos de fazer $\dfrac{b}{a}x$ ficar parecido com $2kx$ da equação (1). O que fazemos? Multiplicamos esta fração por $1 = \dfrac{2}{2}$, e temos:

$\dfrac{b}{a}x = 2\cdot \dfrac{b}{2a}x$

Agora, no velho estilo cara-crachá, podemos dizer que o nosso $k$ será $k = \dfrac{b}{2a}$.

Note que estamos manipulando as coisas. A estratégia secreta é transformar $x^2 + 2kx$ em $(x + k)^2 $. A vantagem? a vantagem é poder isolar o $(x + k)^2$, depois encontrar $(x + k)$ e, finalmente, encontrar o $x$ da questão!

Agora, fazendo $k = \dfrac{b}{2a}$, vamos desenvolver

$$(x + k)^2$$

ou seja, vamos fazer

$$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2$$

Teremos então:

$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2 + 2 \cdot \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}$

Entretanto, nossa equação original ajustada é:

$$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$$

 

 e não podemos alterá-la. Com isto em mente, podemos reescrevê-la assim:

 

 $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = x^2 + 2\cdot \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{c}{a}  +\left(\dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{4a^2}\right) $

 

 Ingenuamente, estamos apenas adicionando zero! Mas, de fato, estamos comparando as equações para termos $\dfrac{b^2}{4a^2}$ no final.

 

 Agora, podemos rearrumar as coisas assim: 

 

 $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = x^2 + 2 \cdot \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a} - \dfrac{b^2}{4a^2}$ 

 

 Já podemos fazer a seguinte substituição:

 

 $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{c}{a} - \dfrac{b^2}{4a^2}$ 

 

 ou seja,

 

 $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac}{4a^2 } - \dfrac{b^2}{4a^2} = 0$ 

 

 Arrematando...

 

   $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac}{4a^2 } - \dfrac{b^2}{4a^2} = 0 \Rightarrow \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

   

 Olha só quem apareceu? o nosso amigo $\Delta = b^2 - 4ac$. Continuando...

 

 $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right) = \pm \sqrt{\dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

 

 $x = -\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

 

 Aqui temos um detalhe: $\sqrt{4a^2} = 2|a|$, entretanto, como estamos considerando os dois sinais da fração, via $\pm$, podemos nos dar ao luxo de escrevermos $2a$. Assim, desembarcamos na famosa fórmula:

 

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$