Como deduzir a fórmula de Báskara para equações do segundo grau?

Esta é uma demonstração algébrica para a equação do segundo grau. De fato, esta equação costuma ser simplesmente apresentada assim: dados os números reais $a,b,c$, com $a\ne 0$ então as soluções reais da equação $a{x}^2+bx+c=0$ serão dadas por:

$$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$

onde o sinal $\pm$ irá significar que uma solução será obtida com o sinal de $+$ e a outra com o sinal de $-$ .

Note como certas coisas em Matemática são intuitivas: caso a expressão $b^2-4ac$ seja igual a zero, então não haverá distinção entre adicionar ou subtrair zero, logo, a equação terá apenas uma solução.

Por outro lado, a expressão $b^2-4ac$ pode ser negativa, e as raízes quadradas somente estão definidas, no universo dos números reais, para números positivos. Concluímos, então, que, caso $b^2-4ac<0$ então a equação não terá raiz real.

Isto não é lógico?

O valor $b^2-4ac$ é representado pela letra $\mathrm{\Delta }$ (delta), assim, dizemos que $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$.

Mas, podemos deduzir esta fórmula? Claro que sim! Veja só:

Temos de encontrar o valor de $x$ na expressão

$$a{x}^2+bx+c=0$$

Para solucionar esta questão, o que fazermos é ajustar esta expressão a uma outra conhecida:

$$(x+k{)}^2=x^2+2kx+k^2(1)$$

Acompanhe a manipulação algébrica:

Inicialmente, temos de nos livrar do $a$ em $x^2$, e, como $a\ne 0$, o que fazemos é dividir toda a equação por $a$. Obtemos uma equação ajustada que fica assim:

$$x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x+{\displaystyle \frac{c}{a}}=0$$

Agora, temos de fazer ${\displaystyle \frac{b}{a}}x$ ficar parecido com $2kx$ da equação (1). O que fazemos? Multiplicamos esta fração por $1={\displaystyle \frac{2}{2}}$, e temos:

${\displaystyle \frac{b}{a}}x=2\cdot {\displaystyle \frac{b}{2a}}x$

Agora, no velho estilo cara-crachá, podemos dizer que o nosso $k$ será $k={\displaystyle \frac{b}{2a}}$.

Note que estamos manipulando as coisas. A estratégia secreta é transformar $x^2+2kx$ em $(x+k{)}^2$. A vantagem? a vantagem é poder isolar o $(x+k{)}^2$, depois encontrar $(x+k)$ e, finalmente, encontrar o $x$ da questão!

Agora, fazendo $k={\displaystyle \frac{b}{2a}}$, vamos desenvolver

$$(x+k{)}^2$$

ou seja, vamos fazer

$${(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2$$

Teremos então:

${(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2=x^2+2\cdot {\displaystyle \frac{b}{2a}}x+{\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}}$

Entretanto, nossa equação original ajustada é:

$$x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x+{\displaystyle \frac{c}{a}}=0$$

 

 e não podemos alterá-la. Com isto em mente, podemos reescrevê-la assim:

 

 $x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x+{\displaystyle \frac{c}{a}}=x^2+2\cdot {\displaystyle \frac{b}{2a}}x+{\displaystyle \frac{c}{a}}+({\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}}-{\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}})$

 

 Ingenuamente, estamos apenas adicionando zero! Mas, de fato, estamos comparando as equações para termos ${\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}}$ no final.

 

 Agora, podemos rearrumar as coisas assim: 

 

 $x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x+{\displaystyle \frac{c}{a}}=x^2+2\cdot {\displaystyle \frac{b}{2a}}x+{\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}}+{\displaystyle \frac{c}{a}}-{\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}}$ 

 

 Já podemos fazer a seguinte substituição:

 

 $x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x+{\displaystyle \frac{c}{a}}={(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2+{\displaystyle \frac{c}{a}}-{\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}}$ 

 

 ou seja,

 

 $x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x+{\displaystyle \frac{c}{a}}={(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2+{\displaystyle \frac{4ac}{4a^2}}-{\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}}=0$ 

 

 Arrematando...

 

   ${(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2+{\displaystyle \frac{4ac}{4a^2}}-{\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}}=0\Rightarrow {(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2={\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

   

 Olha só quem apareceu? o nosso amigo $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$. Continuando...

 

 $(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}}}$

 

 $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

 

 Aqui temos um detalhe: $\sqrt{4a^2}=2|a|$, entretanto, como estamos considerando os dois sinais da fração, via $\pm$, podemos nos dar ao luxo de escrevermos $2a$. Assim, desembarcamos na famosa fórmula:

 

$$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$