O conjunto das raízes quadradas de 2 por falta não possui máximo

Fernando Francisco de Sousa Filho

05/07/2016

Exercício: Prove que o conjunto E das raízes quadradas de 2 por falta não tem máximo.

Seja r um número tal que r² < 2. Temos de mostrar que, qualquer que seja o número r, existe um outro número s tal que

⎧⎨⎩ r < s     r² < s² < 2 

A ideia inicial é tomarmos s = r + (1)/(n) , com n ∈ ℕ, n > 0. Fazendo assim, garantimos que teremos r < s. Vamos, então, procurar determinar, dado um r qualquer com r² < 2, um valor de n de tal forma que r² < s² < 2 . Agora, tanhamos fé...

s² = r² + (2r)/(n) + (1)/(n²) < 2

Desenvolvendo a inequação, temos:

r² + (2r)/(n) + (1)/(n²) < 2 ⇒ r² + ⎛⎝2r + (1)/(n)⎞⎠(1)/(n) < 2

Aqui entra um ponto importante da solução: como 1 ≤ (1)/(n), teremos que

r² + ⎛⎝2r + (1)/(n)⎞⎠(1)/(n) ≤ r² + (2r + 1)(1)/(n)

Esta alteração irá facilitar encontrarmos um valor de n que atenda os requisitos, desde que seja possível solucionar a inequação r² + (2r + 1)(1)/(n) < 2 . Então vamos a ela:

r² + (2r + 1)(1)/(n) < 2 ⇒ (2r + 1)(1)/(n) < 2 − r²

(2r + 1)(1)/(n) < 2 − r ⋅⎛⎝(n)/(2 − r)⎞⎠ ⇒ 

(2r + 1)/(2 − r) < n

Logo, para encontrarmos um valor procurado para n em função de r basta tomarmos n > (2r + 1)/(2 − r).

Um exemplo: seja r = 1, 41 uma aproximação por falta da raiz de 2. Neste caso, teremos que n > 321 . Utilizemos então n = 322. Assim, obtemos s = 1, 41 + 0, 0031 = 1, 4131 e 1, 4131 ² = 1, 99685 < 2 .

Exercício: Prove que o conjunto D das raízes quadradas de 2 por excesso não tem mínimo.

Devemos mostrar agora que, dado r² > 2, existe s < r tal que

r² > s² > 2

Tomemos então s = r − (1)/(n), sendo n ∈ ℕ e n ≥ 1. Assim

s² = r² − (2r)/(n) + (1)/(n²) > 2 ⇒ 

r² − ⎛⎝2r − (1)/(n)⎞⎠(1)/(n) > 2

Novamente, chegamos ao ponto em que podemos procurar simplificar a expressão para encontrar uma solução satisfatória em n. Devemos admitir aproximar-se um pouco mais de 2. Temos, então, que (2r) > ⎛⎝2r − (1)/(n)⎞⎠. Temos então

r² − ⎛⎝2r − (1)/(n)⎞⎠(1)/(n) > r² − (2r)(1)/(n)

pois ao subtrairmos (2r)(1)/(n) > ⎛⎝2r − (1)/(n)⎞⎠ .

Procuramos, agora, solucionar em n a inequação

r² − (2r)(1)/(n) > 2

Fazemos

r² − 2 > (2r)(1)/(n) ⋅⎛⎝(n)/(r² − 2)⎞⎠

n > (2r)/(r² − 2)

Chegamos, portanto, a valores de n em função de r que atendem a todas as condições estabelidas.

Um exemplo: seja r = 1, 42 > √(2). Para este valor, obtemos n > 173, então vamos usar n = 174. Desta forma, encontramos s = 1, 4142528 > √(2), sendo r > s > √(2).