Livro Curso de Análise - Vol.1 - Elon
Capítulo 3 - Questão 4
Fernando Francisco de Sousa Filho
12 de novembro de 2013
Sejam K, L corpos. Uma função f:K → L chama-se um homomorfismo quando se tem f(x + y) = f(x) + f(y) e f(x⋅y) = f(x)⋅f(y), quaisquer que sejam x, y ∈ K.
i) Dado um homomorfismo f:K → L, prove que f(0) = 0.
Prova: f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) ⇒ f(0) = 2f(0). Se f(0) ≠ 0, pela lei do corte, chegamos a 1 = 2 (Absurdo!). Logo, f(0) = 0.■
ii) Prove também que ou f(x) = 0 para todo x ∈ K ou então f(1) = 1 e f é injetiva.
Prova: Suponhamos f(x) = 0 para todo x ∈ K, então teremos
a) f(x + y) = 0, mas f(x + y) = f(x) + f(y) = 0 + 0 = 0.
b)f(xy) = 0, mas f(xy) = f(x)⋅f(y) = 0⋅0 = 0.
Logo, confirma-se a primeira possibilidade.
Vamos mostrar, então, que, se f(1) ≠ 0 então f(1) = 1.Suponhamos f(1) ≠ 0. Temos então que f(1) = f(1⋅1) = f(1)⋅f(1). Desta forma, supondo f(1) ≠ 0, pela lei do corte, encontramos que f(1) = 1.
Vamos mostrar, agora, que, se f(1) = 1 e x ≠ 0, então f(x) ≠ 0. Suponhamos que x ≠ 0 e f(x) = 0. Como x ∈ K, então existe x − 1 ∈ K tal que x⋅x − 1 = 1. Façamos f(x⋅x − 1) = f(x)⋅f(x − 1) = 0⋅f(x − 1) = 0. Mas isto é um absurdo, visto que f(x⋅x − 1) = f(1) = 1. Concluímos, portanto, que se x ≠ 0, f(x) ≠ 0.
Mostremos, por fim, a injetividade de f. Considere x, y ∈ K com x ≠ y e x ≠ 0.
a) Se (x + y) = 0 então f(x + y) = 0, mas f(x + y) = f(x) + f(y) = 0 ⇒ f(x) = − f(y), ou seja, f(x) ≠ f(y).
b) Se (x − y) = 0 então (x − y) = 0 ⇒ x = y, e estamos considerando apenas os casos em que x ≠ y.
c) Por fim, consideremos a seguinte situação: x ≠ y, (x − y) ≠ 0 e (x + y) ≠ 0. Vamos usar o fato de que, nesta situação, (x + y)(x − y) ≠ 0. Suponhamos, por absurdo, que f não é injetiva, ou seja, que tenhamos x ≠ y e f(x) = f(y). Consideremosf[(x + y)(x − y)] = f(x2 − y2) = f(x)2 − f(y)2 = f(x)2 − f(x)2 = 0. Isto contradiz o que mostramos no parágrafo anterior, pois (x + y)(x − y) ≠ 0 ⇒ f[(x + y)(x − y)] ≠ 0. Logo, f é injetiva.■
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