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União e Interseção

Real Analysis - Capítulo Zero

Real Analysis - Capítulo Zero

Fernando Francisco de Sousa Filho

18/11/2013

Prove:
a) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C); e
b) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).
Prova: (a) Se x ∈ A∩(B∪C) então x ∈ A e x ∈ (B∪C). Se tivermos x ∈ B, então x ∈ (A∩B); se x ∈ C então x ∈ (A∩C). Logo, x ∈ (A∩B) ou x ∈ (A∩C), ou seja, x ∈ (A∩B)∪(A∩C).
Por outro lado, se tivermos x ∈ (A∩B)∪(A∩C), então x ∈ (A∩B) ou x ∈ (A∩C). Caso x ∈ (A∩B) então x ∈ A e x ∈ B. Mas se x ∈ B, então x ∈ (B∪C), logo x ∈ A∩(B∪C). O outro raciocínio é análogo.
(b) Se x ∈ A∪(B∩C) então x ∈ A ou x ∈ (B∩C). Caso x ∈ A então x ∈ A∪B e x ∈ A∪C, logo x ∈ (A∪B)∩(A∪C). Suponhamos, então, que x ∈ (B∩C). Neste caso, x ∈ B e x ∈ C. Logo x ∈ B∪A e x ∈ C∪A e, consequentemente, x ∈ (A∪B)∩(A∪C).
Reciprocamente, suponhamos que x ∈ (A∪B)∩(A∪C), logo x ∈ (A∪B) e x ∈ (A∪C), portanto, x ∈ A. Mas se x ∈ A então x pertence à unição do conjunto A com qualquer outro conjunto, logo x ∈ A∪(B∩C).■

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