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Questões sobre Imagem Inversa

Real Analysis - Capítulo Zero

Real Analysis - Capítulo Zero

Fernando Francisco de Sousa Filho

18/11/2013

Prove a seguinte proposição:
Proposição: Seja f:A → B e sejam C e D subconjuntos de B, então:
i) f − 1(C∪D) = f − 1(C)∪f − 1(D);
ii) f − 1(C∩D) = f − 1(C)∩f − 1(D); e
iii) f − 1(B\C) = A\f − 1(C).
Prova: (i) Se x ∈ f − 1(C∪D) temos apenas duas possibilidades, f(x) ∈ C ou f(x) ∈ D. Mas se f(x) ∈ C então x ∈ f − 1(C), e se f(x) ∈ D então x ∈ f − 1(D). Logo, x ∈ f − 1(C) ou x ∈ f − 1(D), ou seja, x ∈ f − 1(C)∪f − 1(D).
Por outro lado, caso x ∈ f − 1(C)∪f − 1(D) então x ∈ f − 1(C) ou x ∈ f − 1(D). Se x ∈ f − 1(C), então x ∈ f − 1(C∪D). O mesmo ocorre caso tenhamos x ∈ f − 1(D).
(ii) Se x ∈ f − 1(C∩D) então f(x) ∈ (C∩D). Suponha que x∉f − 1(C). Caso isto ocorra, então f(x)∉C e, consequentemente, f(x)∉(C∩D), o que é um absurdo. Logo, x ∈ f − 1(C) e, analogamente, x ∈ f − 1(D). Assim, x ∈ f − 1(C)∩f − 1(D).
Reciprocamente, suponhamos que x ∈ f − 1(C)∩f − 1(D). Se x ∈ f − 1(C) então f(x) ∈ C; se x ∈ f − 1(D) então f(x) ∈ D, logo, f(x) ∈ (C∩D), o que implica dizer, pela definição de imagem inversa de um conjunto, que x ∈ f − 1(C∩D).
(iii) Suponhamos, inicialmente, que x ∈ f − 1(B\C). Logo, f(x) ∈ B e f(x)∉C. Mas se f(x)∉C então, x∉f − 1(C). Entretanto, x ∈ A, logo x ∈ A\f − 1(C).
Caso x ∈ A\f − 1(C), então x ∈ A e x∉f − 1(C). Mas, se x∉f − 1(C) então f(x)∉C. Entretanto, f(x) ∈ B, visto que x ∈ A. Logo, f(x) ∈ B\C, o que implica dizer, pela definição de imagem inversa, que x ∈ f − 1(B\C).■
Prove a seguinte proposição:
Proposição: Seja f:A → B e sejam C e D subconjuntos de A. Então:
i) f(C∪D) = f(C)∪f(D); e
ii) f(C∩D) ⊂ f(C)∩f(D).
Prova: (i) Seja f(x) ∈ f(C∪D), logo, f(x) tem origem em C ou em D, ou seja, f(x) ∈ f(C) ou f(x) ∈ f(D). Desta forma, f(x) ∈ f(C)∪f(D).
Por outro lado, se f(x) ∈ f(C)∪f(D) então f(x) ∈ f(C) ou f(x) ∈ f(D). Se tivermos f(x) ∈ f(C), então x ∈ C; se tivermos f(x) ∈ f(D), então, x ∈ D. Logo, x ∈ C ou x ∈ D, ou seja, x ∈ (C∪D). Mas isto equivale a dizer que f(x) ∈ f(C∪D).
(ii) Suponhamos que f(x) ∈ f(C∩D). Isto implica dizer que x ∈ (C∩D), ou seja, x ∈ C e x ∈ D. Então f(x) ∈ f(C) e f(x) ∈ f(D), logo, f(x) ∈ f(C)∩f(D). ■
Vamos investigar o motivo de f(C)∩f(D)¬ ⊂ f(C∩D).
Seja y ∈ f(C)∩f(D), ou seja, y ∈ f(C) e y ∈ f(D). Suponhamos, entretanto, que C ≠ D, e que existem x1, x2 tais que x1 ∈ C, x1∉D, x2∉C e x2 ∈ D. Suponhamos, ainda, que f(x1) = f(x2) = y e, ainda, que x ≠ x1, x2 ⇒ f(x) ≠ f(x1) = f(x2) = y. Desta forma, temos que y ∈ f(C)∩f(D), mas, x1, x2∉(C∩D), logo y∉f(C∩D).

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