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Indução

Real Analysis - Capítulo Zero

Real Analysis - Capítulo Zero

Fernando Francisco de Sousa Filho

19/11/2013

Exercicio: Prove que n < 2n por indução.
Prova:
(I) Para n = 1 temos 1 < 2.
(II) Consideremos P(n): = n < 2n como verdadeira. Mas se n < 2n então n + 1 < 2n + 1 e 2n + 1 < 2n + 2n, logo, n + 1 < 2n + 2n, ou seja, n + 1 < 2n + 1.
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Exercicio: Prove que para um conjunto finito A de cardinalidade n, a cardinalidade de P(A) é igual a 2n.
Prova: (Indução)
(I) P(φ) = {φ} e se A é um conjunto unitário, P(A) = {φ, A};
(II) Suponhamos verdadeira a proposição P(n): = |P(A)| = 2n. Vamos considerar o conjunto An de n elementos e o acréscimo de mais um elemento, digamos, o elemento an + 1, formando o conjunto An + 1. Todos os subconjuntos do conjunto An também são subconjuntos de An + 1. Além disto, todos os subconjuntos do conjunto An não possuem o elemento an + 1. Então, ao associarmos o elemento an + 1 a cada subconjunto de An com a operação união, teremos todos os subconjuntos de An + 1que contém an + 1, pois são todos os possiveis subconjuntos de An com o acréscimo do elemento an + 1. Para reforçar este argumento, suponhamos que houvesse um subconjunto de An + 1 ao qual o elemento an + 1 pertencesse e que não tivesse sido considerado no raciocício anterior. Ora, mas ao retirarmos deste conjunto o elemento an + 1 teriamos obrigatoriamente um subconjunto de An, logo, todos os subconjuntos com o elemento an + 1 são obtidos ao acrescentarmos este elemento a todos os subconjuntos de An. Ao fazermos isto, obtemos para cada subconjunto de An um subconjunto de An + 1 que contém o elemento an + 1. Como os subconjuntos de An + 1 podem ser divididos entre aqueles em que an + 1 não está, que por hipótese de indução são em número de 2n, e aqueles em que o elemento an + 1 está, que correspondem ao mesmo número de subconjuntos de An, portanto, 2n, concluímos que o número de subconjuntos de An + 1 é 2n + 2n = 2n + 1.
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