Supremo de Conjunto com Máximo, Supremo de Intervalo Aberto e um Exemplo Misto (Elon)

Fernando Francisco de Sousa Filho

29/07/2016

Exemplo 10: Se x ⊂ K possui um elemento máximo, este será o seu supremo, e se X possuir um elemento mínimo, este será seu ínfimo. Reciprocamente, se supX ∈ X então supX é seu máximo; se infX ∈ X então infX é seu mínimo.

Seja b o elemento máximo de X, assim, b é cota superior de X, e se x < b então x ∈ X e x não é cota superior de X. Assim, b é a menor das cotas superiores, até porque, às demais cotas superiores só resta ser maior do que b, logo b = supX.

Reciprocamente, supX ∈ X implica que, dado x < supX existe x’ ∈ X tal que x < x’ < supX, logo x < supX ⇒ x não é o elemento máximo de X. Por outro lado, y > supX ⇒ y∉X, logo, como supX ∈ X temos que supX é o elemento máximo de X.

O caso do ínfimo é análogo.

Exemplo 11: Dados a < b em K, seja X = (a, b) o intervalo aberto com estes extremos. Tem-se que infX = a e supX = b.

Se supX = b então b é cota superior de X. Provemos que nenhum c < b é cota superior de X. Se c ≤ a então é óbvio que c não é cota superior de X. Consideremos a < c < b. Temos que

c < b ⇒ c + c < b + b ⇒ c + c < c + b < b + b ⇒ 2c < c + b < 2b ⇒ c < (c + b)/(2) < b

Logo, dado c tal que a < c < b, temos que c não é cota superior de X, restando-nos reconhecer b como a menor das cotas superiores de X.

Exemplo 12: Seja Y ⊂ ℚ o conjunto das frações do tipo (1)/(2ⁿ), com n ∈ ℕ. Mostre que infY = 0 e que supY = (1)/(2).

Note que (1)/(2) ∈ Y e (1)/(2ⁿ) < (1)/(2) para todo n > 1. Assim, (1)/(2) é o elemento máximo do conjunto Y e consequentemente seu supremo.

Por outro lado, 0 < (1)/(2ⁿ) para todo n ∈ ℕ, logo 0 é cota inferior do conjunto Y. Devemos mostrar que qualquer outro número racional c > 0 não é cota inferior de Y.

Como ℚ é arquimediano, vamos usar este fato. A desigualdade de Bernoulli nos garante que

(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx

para x ≥  − 1. Assim,

2ⁿ = (1 + 1)ⁿ ≥ 1 + n

Logo,

(1)/(2ⁿ) ≤ (1)/(1 + n)

para qualquer n ∈ ℕ.

Assim, dado c > 0 qualquer, c ∈ ℚ, devemos mostrar que (1)/(c) não é cota inferior do conjunto Y. Desta forma, como já sabemos que 0 é cota inferior, concluiremos que infY = 0.

Sigamos, então. Dado c > 0 racional, a propriedade arquimediana aplicada aos racionais garante que podemos encontrar n ∈ ℕ tal que c < n < n + 1, ou seja, (1)/(c) > (1)/(n + 1) ou, ainda,

(1)/(n + 1) < (1)/(c)

Assim, temos que

(1)/(2ⁿ) ≤ (1)/(n + 1) < (1)/(c)

O que nos confirma que, por menor que seja o número (1)/(c) > 0 sempre existirá um natural n que torna (1)/(2ⁿ) < (1)/(c), garantindo, assim, que (1)/(c) não é cota inferior do conjunto Y.

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