Capítulo 3 - Questão 4 Livro Curso de Análise - Vol.1 - Elon Capítulo 3 - Questão 4 Fernando Francisco de Sousa Filho 12 de novembro de 2013 Sejam K , L corpos. Uma função f : K → L chama-se um homomorfismo quando se tem f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) e f ( x ⋅ y ) = f ( x )⋅ f ( y ) , quaisquer que sejam x , y ∈ K . i) Dado um homomorfismo f : K → L , prove que f (0) = 0 . Prova : f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) ⇒ f (0) = 2 f (0) . Se f (0) ≠ 0, pela lei do corte, chegamos a 1 = 2 (Absurdo!). Logo, f (0) = 0 . ■ ii) Prove também que ou f ( x ) = 0 para todo x ∈ K ou então f (1) = 1 e f é injetiva. Prova : Suponhamos f ( x ) = 0 para todo x ∈ K , então teremos a) f ( x + y ) = 0 , mas f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) = 0 + 0 = 0. b) f ( xy ) = 0 , mas f ( xy ) = f ( x )⋅ f ( y ) = 0⋅0 = 0 . Logo, confirma-se a primeira possibilidade. Vamos mostrar, então, que, se f (1) ≠ 0 então f (1) = 1 .Suponhamos f (1...
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