Mostre que, se $(X_n)$ é uma progressão aritmética de termos positivos então

$\dfrac{1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} +\dfrac{1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{x_{n-1}} + \sqrt{x_n}} = \dfrac{n-1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}}$

Uma dica (pode haver outras formas de resolver) é usar uma indução sobre $n$

Então, começamos verificando que a expressão é verdadeira para $n=2$ (verifica!)

Agora, vamos nos ver com uma hipótese: a de que se a expressão é válida para $n$ então será válida para $n + 1$.

Se a expressão é válida para $n$ podemos verificar se a seguinte expressão é verdadeira:

$\dfrac{n-1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}} + \dfrac{1}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x_{n+1}}} =  \dfrac{n}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}}}$

 

Agora podemos fazer:

 

$\dfrac{n}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}} - \dfrac{n}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}} - \dfrac{1}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x_{n+1}}}$

$\dfrac{n(\sqrt{x_{n+1}} - \sqrt{x_{n})}}{(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}) (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}})} = \dfrac{(\sqrt{x_{n+1}} - \sqrt{x_{1})}}{(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}) (\sqrt{x_n} + \sqrt{x_{n+1}})} $

 

Corta-se e teremos:

  $\dfrac{n(\sqrt{x_{n+1}} - \sqrt{x_{n})}}{(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}})} = \dfrac{(\sqrt{x_{n+1}} - \sqrt{x_{1})}}{(\sqrt{x_n} + \sqrt{x_{n+1}})} $

 

Multiplicando em X, chegamos então a: 

$n(x_{n+1} - x_n) = x_{n+1} - x_1$

Neste momento usamos a característica das PA:

$n(x_1 + nr - x_ 1 - nr + r) = x_1 + nr - x_ 1$

$nr = nr$