O conjunto das raízes quadradas de 2 por falta não possui máximo O conjunto das raízes quadradas de 2 por falta não possui máximo Fernando Francisco de Sousa Filho 05/07/2016 Exercício: Prove que o conjunto E das raízes quadradas de 2 por falta não tem máximo. Seja r um número tal que r ² < 2 . Temos de mostrar que, qualquer que seja o número r , existe um outro número s tal que ⎧ ⎨ ⎩ r < s r ² < s ² < 2 A ideia inicial é tomarmos s = r + ( 1 )/( n ) , com n ∈ ℕ , n > 0 . Fazendo assim, garantimos que teremos r < s . Vamos, então, procurar determinar, dado um r qualquer com r ² < 2 , um valor de n de tal forma que r ² < s ² < 2 . Agora, tanhamos fé... s ² = r ² + ( 2 r )/( n ) + ( 1 )/( n ² ) < 2 Desenvolvendo a inequação, temos: r ² + ( 2 r )/( n ) + ( 1 )/( n ² ) < 2 ⇒ r ² + ⎛ ⎝ 2 r + ( 1 )/( n ) ⎞ ⎠ ( 1 )/( n ) < 2 Aqui entra um ponto importante...
Algumas demonstrações que apresento aqui são minhas, resultado do meu esforço, e não posso garantir que estejam corretas (agradeço qualquer comentário). Outras são como que traduções minhas do conteúdo de livros, onde procuro detalhar mais, na tentativa de facilitar a leitura e a compreensão, mas sei que nem sempre consigo isto (comentários são bem vindos).
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