Questões Comentadas de Matemática

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 25/11/2013 Exercício : Apresente um exemplo de uma coleção contável de conjuntos finitos A 1 ,  A 2 , ⋯ cuja união não é um conjunto finito. Respostas : a) Se definirmos cada conjunto assim: A i  = { i } onde i  ∈ ℕ , a união destes conjuntos unitários corresponderá aos naturais. b) Seja, então, A i  = { número de divisores naturais do número i } , então, cada A i será um conjunto finito, mas, como os números primos são infinitos, a união infinita será um conjunto infinito. Exercício : Apresente um exemplo de uma coleção contável de conjuntos infinitos A 1 ,  A 2 , ⋯ com A j ∩ A k sendo infinito para todo j ,  k , de tal forma que ∩ ∞ j  = 1 A j é um conjunto finito não vazio. Resposta : Bem, temos que cada conjunto A i é infinito, a interseção entre quaisquer pares de conjuntos deve ser infinita, mas a interseção infinita de todos eles deve ser não vazia

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 25/11/2013 Exercicio : Encontre todos os valores naturias de n tais que n 2  < 2 n Vamos começar identificando um valor para n , por tentativa e erro. Assim, fazendo n  = 4 teremos 16 < 16 e que para n  = 5 teremos 25 < 32 . Tudo indica que estes valores de n serão {1, 2, 3} , mas, para nos certificarmos, teremos de provar que n 2  < 2 n para n  > 4 , visto que, para n  = 4 já verificamos que ocorre a igualdade. Vamos então provar, usando a indução, que, para n  > 4 , esta relação permanece verdadeira. Prova : (I) Para n  = 5 , já verificamos. (II) Consideremos válido para n  > 5 . Então, vamos verificar se vale para n  + 1 , ou seja, vamos verificar a seguinte implicação: n 2  < 2 n  ⇒ ( n  + 1) 2  < 2 ( n  + 1) Começando por nossa hipótese, podemos completar o quadrado do primeiro membro. Temos, então, que n 2  + 2 n  

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 25/11/2013 Exercicio : Encontre o menor natural n tal que 2( n  + 5) 2  <  n 3 e chame-o de n 0 . Mostre que 2( n  + 5) 2  <  n 3 para todo n  ≥  n 0 . Vamos começar identificando um valor para n 0 , por tentativa e erro. Assim, fazendo n  = 4 teremos 162 < 64 , que não serve. Então tomamos n  = 5 e temos 200 < 125 . Para n  = 6,  temos 242 <  216. Para n  = 7 , temos 288 < 343 . Então nosso n 0  = 7 . Vamos então provar, usando a indução, que, para n  >  n 0 , esta relação permanece verdadeira. Prova : (I) Para n 0  = 7 , já verificamos. (II) Consideremos válido para n  >  n o . Então, vamos verificar se vale para n  + 1 , ou seja, vamos verificar a seguinte implicação: 2( n  + 5) 2  <  n 3  ⇒ 2( n  + 6) 2  < ( n  + 1) 3 Vamos completar o cubo ( n  + 1) 3 no segundo membro da inequação e desenvolver. Temos, então, que 2

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 25/11/2013 Exercicio : Prove que n 3  + 5 n é divisível por 6 para todo n  ∈ ℕ . Prova : (I) Para n  = 1 , é imediato. (II) Consideremos válido para n . Então, vamos verificar se vale n 3  + 5 n  = 6 k  ⇒ ( n  + 1) 3  + 5( n  + 1) = 6 t Vamos completar o cubo ( n  + 1) 3 a partir de n 3 e 5( n  + 1) a partir de 5 n . Temos, então, que n 3  + 5 n  = 6 k  ⇒  n 3  + 3 n 2  + 3 n  + 1 + 5 n  + 5 = 6 k  + 3 n 2  + 3 n  + 6 ⇒  ( n  + 1) 3  + 5( n  + 1) = 6 k  + 3 n 2  + 3 n  + 6 = 6 k  + 3( n 2  +  n  + 2) =  6 k  + 3[ n ( n  + 1) + 2) Note que a parcela n ( n  + 1) corresponde ao produto entre um número natural pelo seu sucessor, logo, um deles é par. Assim, podemos dizer que n ( n  + 1) = 2 m , o que nos leva a concluir que ( n  + 1) 3  + 5( n  + 1) = 6 k  + 3(2 m  + 2) = 6 k  + 6( m  + 1) = 6( k  +  m  + 1) ■ Document generated by eLyXe

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 22/11/2013 Exercicio : Prove que 1 3  + 2 3  + ⋯ +  n 3  =  ⎛ ⎝ ( n ( n  + 1) )/( 2 ) ⎞ ⎠ 2 para todo n  ∈ ℕ . Prova : (I) Para n  = 1 , é imediato. (II) Consideremos válido para n , e vamos provar que é válido para n  + 1 . Então, temos que 1 3  + 2 3  + ⋯ +  n 3  =  ⎛ ⎝ ( n ( n  + 1) )/( 2 ) ⎞ ⎠ 2  ⇒  1 3  + 2 3  + ⋯ +  n 3  + ( n  + 1) 3  =  ⎛ ⎝ ( n ( n  + 1) )/( 2 ) ⎞ ⎠ 2  + ( n  + 1) 3  =  ⎛ ⎝ ( n ( n  + 1) )/( 2 ) ⎞ ⎠ 2  +  ( 4( n  + 1) 3 )/( 4 )  =  ( n 2 ( n  + 1) 2  + 4( n  + 1) 3 )/( 4 )  =  ( ( n  + 1) 2 [ n 2  + 4 n  + 4] )/( 4 )  =  ( ( n  + 1) 2 ( n  + 2) 2 )/( 4 )  =  ⎛ ⎝ ( ( n  + 1)( n  + 2) )/( 2 ) ⎞ ⎠ 2 ■ Document generated by eLyXer 1.2.5 (2013-03-10) on 2013-12-02T23:43:55.143600

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 22/11/2013 Exercicio : Prove que ( 1 )/( 1⋅2 )  +  ( 1 )/( 2⋅3 )  + ⋯ +  ( 1 )/( n ( n  + 1) )  =  ( n )/( n  + 1 ) para todo n  ∈ ℕ . Prova : (I) Para n  = 1 , é imediato. (II) Consideremos válido para n e vamos mostrar que é válido para n  + 1 . Então, temos que ( 1 )/( 1⋅2 )  +  ( 1 )/( 2⋅3 )  + ⋯ +  ( 1 )/( n ( n  + 1) )  =  ( n )/( n  + 1 )  ⇒  ( 1 )/( 1⋅2 )  +  ( 1 )/( 2⋅3 )  + ⋯ +  ( 1 )/( n ( n  + 1) )  +  ( 1 )/( ( n  + 1)( n  + 2) )  =  ( n )/( n  + 1 )  +  ( 1 )/( ( n  + 1)( n  + 2) )  =  ( n ( n  + 2) + 1 )/( ( n  + 1)( n  + 2) )  =  ( n 2  + 2 n  + 1 )/( ( n  + 1)( n  + 2) )  =  ( ( n  + 1) 2 )/( ( n  + 1)( n  + 2) )  =  ( n  + 1 )/( n  + 2 ) ■ Document generated by eLyXer 1.2.5 (2013-03-10) on 2013-12-02T23:38:51.742139

A Matemática é uma paixão de infância, e que, ainda hoje, se mantém acesa em mim. Mas minha relação com a Matemática se dá por meio dos matemáticos, aí a coisa pega. Às vezes demoro a compreendê-la, o que, por vezes também, me desanima. Aí eu dou um tempo, procuro uma outra fonte, insisto, e, assim, tenho conseguido conquistá-la paulatinamente. Sabe, acho que a comunicação matemática é um problema. Em minha interpretação, os matemáticos, após insistirem, vivenciarem, pesquisarem e testarem, conseguem uma boa assimilação de um conhecimento, ou conseguem construir novos conhecimentos matemáticos. Entretanto, quando vão comunicar, se esquecem de todo o esforço que tiveram e costumam ser diretos, sintéticos e, às vezes, deixando certa soberba escapar. Afinal, não deixa de ser tentador imaginar-se mais inteligente diante da dificuldade de seus ouvintes de alcançar o seu pensamento, traduzido em discurso. Prefiro não acreditar nesta última possibilidade! Mas, ainda assim, acho que temos um

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 19/11/2013 Exercicio : Prove que n  < 2 n por indução. Prova : (I) Para n  = 1 temos 1 < 2 . (II) Consideremos P ( n ): =  n  < 2 n como verdadeira. Mas se n  < 2 n então n  + 1 < 2 n  + 1 e 2 n  + 1 < 2 n  + 2 n , logo, n  + 1 < 2 n  + 2 n , ou seja, n  + 1 < 2 n  + 1 . ■ Exercicio : Prove que para um conjunto finito A de cardinalidade n , a cardinalidade de P ( A ) é igual a 2 n . Prova : ( Indução ) (I) P ( φ ) = { φ } e se A é um conjunto unitário, P ( A ) = { φ ,  A } ; (II) Suponhamos verdadeira a proposição P ( n ): = | P ( A )| = 2 n . Vamos considerar o conjunto A n de n elementos e o acréscimo de mais um elemento, digamos, o elemento a n  + 1 , formando o conjunto A n  + 1 . Todos os subconjuntos do conjunto A n também são subconjuntos de A n  + 1 . Além disto, todos os subconjuntos do conjunto A n não

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 19/11/2013 Seja A △ B a diferença simétrica entre os conjuntos A e B , ou seja, o conjunto dos elementos que pertencem ou ao conjunto A ou ao conjunto B , mas não a ambos os conjuntos. b) Prove que A △ B  = ( A \ B )∪( B \ A ) c) Prove que A △ B  = ( A ∪ B )\( A ∩ B ) . Prova : (b) se x  ∈ ( A \ B )∪( B \ A ) então x  ∈ ( A \ B ) ou x  ∈ ( B \ A ) . Na primeira possibilidade, x  ∈  A e x ∉ B ; na segunda, x  ∈  B e x ∉ A . (c) se x  ∈ ( A ∪ B )\( A ∩ B ) então x  ∈  A ou x  ∈  B mas x ∉( A ∩ B ) ou seja, a ambos. ■ Document generated by eLyXer 1.2.3 (2011-08-31) on 2013-11-23T12:00:09.163486

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 18/11/2013 Prove: a) A ∩( B ∪ C ) = ( A ∩ B )∪( A ∩ C ) ; e b) A ∪( B ∩ C ) = ( A ∪ B )∩( A ∪ C ) . Prova : (a) Se x  ∈  A ∩( B ∪ C ) então x  ∈  A e x  ∈ ( B ∪ C ) . Se tivermos x  ∈  B , então x  ∈ ( A ∩ B ) ; se x  ∈  C então x  ∈ ( A ∩ C ) . Logo, x  ∈ ( A ∩ B ) ou x  ∈ ( A ∩ C ) , ou seja, x  ∈ ( A ∩ B )∪( A ∩ C ) . Por outro lado, se tivermos x  ∈ ( A ∩ B )∪( A ∩ C ) , então x  ∈ ( A ∩ B ) ou x  ∈ ( A ∩ C ). Caso x  ∈ ( A ∩ B ) então x  ∈  A e x  ∈  B . Mas se x  ∈  B , então x  ∈ ( B ∪ C ) , logo x  ∈  A ∩( B ∪ C ) . O outro raciocínio é análogo. (b) Se x  ∈  A ∪( B ∩ C ) então x  ∈  A ou x  ∈ ( B ∩ C ) . Caso x  ∈  A então x  ∈  A ∪ B e x  ∈  A ∪ C , logo x  ∈ ( A ∪ B )∩( A ∪ C ) . Suponhamos, então, que x  ∈ ( B ∩ C ) . Neste caso, x  ∈  B e x  ∈  C . Logo x  ∈  B ∪ A e x  ∈  C ∪ A e, consequentemente, x  ∈ ( A ∪ B )∩( A ∪ C ) . Reciproca

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 18/11/2013 Prove a seguinte proposição: Proposição : Seja f : A  →  B e sejam C e D subconjuntos de B , então: i) f  − 1 ( C ∪ D ) =  f  − 1 ( C )∪ f  − 1 ( D ) ; ii) f  − 1 ( C ∩ D ) =  f  − 1 ( C )∩ f  − 1 ( D ) ; e iii) f  − 1 ( B \ C ) =  A \ f  − 1 ( C ) . Prova : (i) Se x  ∈  f  − 1 ( C ∪ D ) temos apenas duas possibilidades, f ( x ) ∈  C ou f ( x ) ∈  D . Mas se f ( x ) ∈  C então x  ∈  f  − 1 ( C ) , e se f ( x ) ∈  D então x  ∈  f  − 1 ( D ) . Logo, x  ∈  f  − 1 ( C ) ou x  ∈  f  − 1 ( D ) , ou seja, x  ∈  f  − 1 ( C )∪ f  − 1 ( D ). Por outro lado, caso x  ∈  f  − 1 ( C )∪ f  − 1 ( D ) então x  ∈  f  − 1 ( C ) ou x  ∈  f  − 1 ( D ) . Se x  ∈  f  − 1 ( C ) , então x  ∈  f  − 1 ( C ∪ D ) . O mesmo ocorre caso tenhamos x  ∈  f  − 1 ( D ) . (ii) Se x  ∈  f  − 1 ( C ∩ D ) então f ( x ) ∈ ( C ∩ D ) . Suponha que x ∉ f  − 1 ( C ) . Caso isto oc

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 14/11/2013 Prove que o principio da Indução Forte é equivalente ao principio da Indução Fraca. Prova: (Indução Forte  ⇒  Indução Fraca) Em ambas, temos que P (1) =  V . Então vamos considerar o segundo passo. Na indução forte temos que, dado r  ∈ ℕ , com 1 ≤  r  ≤  k , então, P ( r ) =  V  ⇒  P ( k  + 1) =  V . Ora, se P ( r ) =  V para todo 1 ≤  r  ≤  k , então, tomando apenas o maior valor para r ,  teremos P ( k ) =  V . Por hipótese, P ( k  + 1) =  V logo, o princípio da indução forte implica o principio da indução fraca. (Indução Fraca  ⇒  Principio da Boa Ordenação) Consideremos que: i) P (1) =  V ; e ii) P ( n ) =  V  ⇒  P ( n  + 1) =  V . Seja A  ⊂ ℕ um conjunto não vazio. Seja X  ⊂ ℕ tal que X  = ℕ\ A . Consideremos a proposição P ( x ): =  x  ∈  X . Se aplicarmos a indução fraca a P ( x ) e ela se verificar, concluiremos que X  = ℕ . Por contrapos

Capítulo 3 - Questão 4 Livro Curso de Análise - Vol.1 - Elon Capítulo 3 - Questão 4 Fernando Francisco de Sousa Filho 12 de novembro de 2013 Sejam K ,  L corpos. Uma função f : K  →  L chama-se um homomorfismo quando se tem f ( x  +  y ) =  f ( x ) +  f ( y ) e f ( x ⋅ y ) =  f ( x )⋅ f ( y ) , quaisquer que sejam x ,  y  ∈  K . i) Dado um homomorfismo f : K  →  L , prove que f (0) = 0 . Prova : f (0) =  f (0 + 0) =  f (0) +  f (0) ⇒  f (0) = 2 f (0) . Se f (0) ≠ 0,  pela lei do corte, chegamos a 1 = 2 (Absurdo!). Logo, f (0) = 0 . ■ ii) Prove também que ou f ( x ) = 0 para todo x  ∈  K ou então f (1) = 1 e f é injetiva. Prova : Suponhamos f ( x ) = 0 para todo x  ∈  K , então teremos a) f ( x  +  y ) = 0 , mas f ( x  +  y ) =  f ( x ) +  f ( y ) = 0 + 0 = 0. b) f ( xy ) = 0 , mas f ( xy ) =  f ( x )⋅ f ( y ) = 0⋅0 = 0 . Logo, confirma-se a primeira possibilidade. Vamos mostrar, então, que, se f (1) ≠ 0 então f (1) = 1 .Suponhamos f (1

A questão de número 159 do ENEM 2012, caderno rosa, prova de Matemática, versava sobre Probabilidade. Na verdade, era possível resolvê-la pelo bom senso e um mínimo de conhecimento de probabilidade. A questão fala de um jogo que consiste em: 1) dar um palpite sobre uma dentro cinco cores de bolas disponíveis; 2) tirar aleatoriamente de uma urna uma bola e acrescentá-la numa segunda urna; 3) retirar aleatoriamente uma bola desta segunda urna. Se a cor da bola retirada da segunda urna coincidir com o palpite do jogador, ele ganha o jogo. Três soluções distintas são apresentadas no arquivo cujo link segue abaixo.  Clique aqui para acessar o arquivo PDF

Capítulo 5 - Probabilidade - Questão 6 Livro: A Matematica do Ensino Medio Vol.: 2 Capítulo 5 - Probabilidade - Questão 6 Fernando Francisco de Sousa Filho 01 de outubro de 2013 Um polígono regular de 2 n  + 1 lados está inscrito em um círculo. Escolhem-se três de seus vértices, formando um triângulo. Determine a probabilidade do centro do círculo ser interior ao triângulo. 1  Solução 1 Vou apresentar duas soluções deste problema, sendo que a primeira segue a sugestão do autor do livro. Vamos começar analisando algumas situações particulares. Fixaremos um vértice e correlacionaremos a este vértice o número dos outros dois vértice que formam triângulos que contém o centro do círculo.Vamos começar com o pentágono, depois o heptágono, o eneágono e, por fim, o undecágono. Observe o pentágono. Vamos considerar o ponto A como sendo o vértice 1, o B como o vértice 2 e assim sucessivamente. Então, com suporte da figura, podemos notar que os triângulos que contém o c