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Coleções Contáveis de Conjuntos

Real Analysis - Capítulo Zero

Real Analysis - Capítulo Zero

Fernando Francisco de Sousa Filho

25/11/2013

Exercício: Apresente um exemplo de uma coleção contável de conjuntos finitos A1, A2, ⋯ cuja união não é um conjunto finito.
Respostas: a) Se definirmos cada conjunto assim: Ai = {i} onde i ∈ ℕ, a união destes conjuntos unitários corresponderá aos naturais.
b) Seja, então, Ai = {número de divisores naturais do número i}, então, cada Ai será um conjunto finito, mas, como os números primos são infinitos, a união infinita será um conjunto infinito.
Exercício: Apresente um exemplo de uma coleção contável de conjuntos infinitos A1, A2, ⋯ com Aj∩Ak sendo infinito para todo j, k , de tal forma que ∩∞j = 1Aj é um conjunto finito não vazio.
Resposta: Bem, temos que cada conjunto Ai é infinito, a interseção entre quaisquer pares de conjuntos deve ser infinita, mas a interseção infinita de todos eles deve ser não vazia e finita. Então, consideremos o conjunto Ai: = {conjuntos dos múltiplos de i ∈ ℕ}∪{1}. Assim, cada Ai é infinito e a interseção entre dois conjuntos distintos será o conjunto dos múltiplos de ambos os números, que é infinito, unido com o conjunto unitário {1}. Temos como resultado o conjunto dos múltiplos do mmc(j, k) união com {1}. Entretanto, ao tomarmos a interseção infinita, como não existe um único número que seja múltiplo de todos os números naturais, visto que a quantidade de números primos é infinita, teremos como interseção apenas o conjunto {1}, propositalmente adicionado a cada um dos conjuntos Ai.
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