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Indução VI

Real Analysis - Capítulo Zero

Real Analysis - Capítulo Zero

Fernando Francisco de Sousa Filho

25/11/2013

Exercicio: Encontre todos os valores naturias de n tais que n2 < 2n
Vamos começar identificando um valor para n, por tentativa e erro. Assim, fazendo n = 4 teremos 16 < 16 e que para n = 5 teremos 25 < 32. Tudo indica que estes valores de n serão {1, 2, 3}, mas, para nos certificarmos, teremos de provar que n2 < 2n para n > 4, visto que, para n = 4 já verificamos que ocorre a igualdade. Vamos então provar, usando a indução, que, para n > 4, esta relação permanece verdadeira.
Prova:
(I) Para n = 5, já verificamos.
(II) Consideremos válido para n > 5. Então, vamos verificar se vale para n + 1, ou seja, vamos verificar a seguinte implicação:
n2 < 2n ⇒ (n + 1)2 < 2(n + 1)
Começando por nossa hipótese, podemos completar o quadrado do primeiro membro. Temos, então, que
n2 + 2n + 1 < 2n + 2n + 1 ⇒ 
(n + 1)2 < 2n + 2n + 1
Entretanto, para n > 5 é fácil ver que 2n + 1 < 2n, ou seja, temos que
(n + 1)2 < 2n + 2n + 1 < 2n + 2n ⇒ 
(n + 1)2 < 2n + 1
■

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