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Indução III

Real Analysis - Capítulo Zero

Real Analysis - Capítulo Zero

Fernando Francisco de Sousa Filho

22/11/2013

Exercicio: Prove que 13 + 23 + ⋯ + n3 = ⎛⎝(n(n + 1))/(2)⎞⎠2 para todo n ∈ ℕ.
Prova:
(I) Para n = 1, é imediato.
(II) Consideremos válido para n, e vamos provar que é válido para n + 1. Então, temos que
13 + 23 + ⋯ + n3 = ⎛⎝(n(n + 1))/(2)⎞⎠2 ⇒ 
13 + 23 + ⋯ + n3 + (n + 1)3 = ⎛⎝(n(n + 1))/(2)⎞⎠2 + (n + 1)3 = 
⎛⎝(n(n + 1))/(2)⎞⎠2 + (4(n + 1)3)/(4) = (n2(n + 1)2 + 4(n + 1)3)/(4) = 
((n + 1)2[n2 + 4n + 4])/(4) = ((n + 1)2(n + 2)2)/(4) = ⎛⎝((n + 1)(n + 2))/(2)⎞⎠2
■

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