Indução IV

Real Analysis - Capítulo Zero

Fernando Francisco de Sousa Filho

25/11/2013

Exercicio: Prove que n³ + 5n é divisível por 6 para todo n ∈ ℕ.

Prova:

(I) Para n = 1, é imediato.

(II) Consideremos válido para n. Então, vamos verificar se vale

n³ + 5n = 6k ⇒ (n + 1)³ + 5(n + 1) = 6t

Vamos completar o cubo (n + 1)³ a partir de n³ e 5(n + 1) a partir de 5n . Temos, então, que

n³ + 5n = 6k ⇒ n³ + 3n² + 3n + 1 + 5n + 5 = 6k + 3n² + 3n + 6 ⇒ 

(n + 1)³ + 5(n + 1) = 6k + 3n² + 3n + 6 = 6k + 3(n² + n + 2) = 

6k + 3[n(n + 1) + 2)

Note que a parcela n(n + 1) corresponde ao produto entre um número natural pelo seu sucessor, logo, um deles é par. Assim, podemos dizer que n(n + 1) = 2m, o que nos leva a concluir que

(n + 1)³ + 5(n + 1) = 6k + 3(2m + 2) = 6k + 6(m + 1) = 6(k + m + 1)

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