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Indução V

Real Analysis - Capítulo Zero

Real Analysis - Capítulo Zero

Fernando Francisco de Sousa Filho

25/11/2013

Exercicio: Encontre o menor natural n tal que 2(n + 5)2 < n3 e chame-o de n0. Mostre que 2(n + 5)2 < n3 para todo n ≥ n0 .
Vamos começar identificando um valor para n0, por tentativa e erro. Assim, fazendo n = 4 teremos 162 < 64, que não serve. Então tomamos n = 5 e temos 200 < 125. Para n = 6, temos 242 <  216. Para n = 7, temos 288 < 343. Então nosso n0 = 7. Vamos então provar, usando a indução, que, para n > n0, esta relação permanece verdadeira.
Prova:
(I) Para n0 = 7, já verificamos.
(II) Consideremos válido para n > no. Então, vamos verificar se vale para n + 1, ou seja, vamos verificar a seguinte implicação:
2(n + 5)2 < n3 ⇒ 2(n + 6)2 < (n + 1)3
Vamos completar o cubo (n + 1)3 no segundo membro da inequação e desenvolver. Temos, então, que
2(n + 5)2 + 3n2 + 3n + 1 < (n + 1)3 ⇒ 
Note que (n + 6)2 = n2 + 12n + 36 e que 2(n + 6)2 = 2n2 + 24n + 72. Logo, podemos fazer
2n2 + 20n + 50 + 3n2 + 3n + 1 < (n + 1)3 ⇒ 
2n2 + 23n + 51 + 3n2 < (n + 1)3 ⇒ 
2n2 + 24n + 51 + 3n2 − n < (n + 1)3
Entretanto, por hipótese, temos que n ≥ 7, ou seja, 3n2 − n, que é uma parabola de concavidade para cima e raízes n’ = 0 e n" = (1)/(3), será maior ou igual a 3(72) − 7 = 140. Então podemos dizer que 3n2 − n = 140 + k, com k ∈ ℕ. Assim, concluímos que
2n2 + 24n + 51 + 3n2 − n = 2n2 + 24n + 72 + 140 + k − 21 = 
2n2 + 24n + 72 + 119 + k < (n + 1)3
Mas
2(n + 6)2 = 2n2 + 24n + 72 < 2n2 + 24n + 72 + 119 + k < (n + 1)3.
Logo
2(n + 6)2 = 2n2 + 24n + 72 < (n + 1)3.
■

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