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Indução II

Real Analysis - Capítulo Zero

Real Analysis - Capítulo Zero

Fernando Francisco de Sousa Filho

22/11/2013

Exercicio: Prove que (1)/(1⋅2) + (1)/(2⋅3) + ⋯ + (1)/(n(n + 1)) = (n)/(n + 1) para todo n ∈ ℕ.
Prova:
(I) Para n = 1, é imediato.
(II) Consideremos válido para n e vamos mostrar que é válido para n + 1. Então, temos que
(1)/(1⋅2) + (1)/(2⋅3) + ⋯ + (1)/(n(n + 1)) = (n)/(n + 1) ⇒ 
(1)/(1⋅2) + (1)/(2⋅3) + ⋯ + (1)/(n(n + 1)) + (1)/((n + 1)(n + 2)) = (n)/(n + 1) + (1)/((n + 1)(n + 2)) = 
(n(n + 2) + 1)/((n + 1)(n + 2)) = (n2 + 2n + 1)/((n + 1)(n + 2)) = ((n + 1)2)/((n + 1)(n + 2)) = (n + 1)/(n + 2)
■

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