Indução II

Real Analysis - Capítulo Zero

Fernando Francisco de Sousa Filho

22/11/2013

Exercicio: Prove que (1)/(1⋅2) + (1)/(2⋅3) + ⋯ + (1)/(n(n + 1)) = (n)/(n + 1) para todo n ∈ ℕ.

Prova:

(I) Para n = 1, é imediato.

(II) Consideremos válido para n e vamos mostrar que é válido para n + 1. Então, temos que

(1)/(1⋅2) + (1)/(2⋅3) + ⋯ + (1)/(n(n + 1)) = (n)/(n + 1) ⇒ 

(1)/(1⋅2) + (1)/(2⋅3) + ⋯ + (1)/(n(n + 1)) + (1)/((n + 1)(n + 2)) = (n)/(n + 1) + (1)/((n + 1)(n + 2)) = 

(n(n + 2) + 1)/((n + 1)(n + 2)) = (n² + 2n + 1)/((n + 1)(n + 2)) = ((n + 1)²)/((n + 1)(n + 2)) = (n + 1)/(n + 2)

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