A matemática do ensino médio - Vol.2 - Cap.5 - Questão 6

Livro: A Matematica do Ensino Medio Vol.: 2

Capítulo 5 - Probabilidade - Questão 6

Fernando Francisco de Sousa Filho

01 de outubro de 2013

Um polígono regular de 2n + 1 lados está inscrito em um círculo. Escolhem-se três de seus vértices, formando um triângulo. Determine a probabilidade do centro do círculo ser interior ao triângulo.

1 Solução 1

Vou apresentar duas soluções deste problema, sendo que a primeira segue a sugestão do autor do livro. Vamos começar analisando algumas situações particulares. Fixaremos um vértice e correlacionaremos a este vértice o número dos outros dois vértice que formam triângulos que contém o centro do círculo.Vamos começar com o pentágono, depois o heptágono, o eneágono e, por fim, o undecágono.

Observe o pentágono. Vamos considerar o ponto A como sendo o vértice 1, o B como o vértice 2 e assim sucessivamente. Então, com suporte da figura, podemos notar que os triângulos que contém o centro do círculo serão os formados pelos vértices 1 - 2 - 4, 1 - 3 - 4 e 1 - 3 - 5. Lembre-se que fixamos o vértice 1. Podemos notar, ainda, que, se repetirmos o procedimento para os demais vértices, cada triângulo será contado três vezes. Por exemplo, o triângulo 1 - 2 - 4 aparecerá na contagem de triângulos quando fixarmos o vértice 2 e quando fixarmos o vértice 4. Assim, Como para cada vértice temos 3 triângulos. o número de triângulos que contém o centro do pentágono será (5 × 3)÷3 = 5 .

Vamos agora ao heptágono.

Fixaremos novamente o vértice A=1. Teremos os seguintes triângulos: 1 - 2 - 5, 1 - 3 - 5, 1 - 3 - 6, 1 - 4 - 5, 1 - 4 - 6 e 1 - 4 - 7. Temos, portanto, 6 triângulos para cada vértice, logo, o número de triângulos que contém o centro do heptágono será (6 × 7)÷3 = 14.

Vamos agora ao eneágono.

Mais uma vez, podemos visualmente identificar os triângulos que contém o centro, fixado o vértice A=1. Teremos: 1 - 2 - 6, 1 - 3 - 6, 1 - 3 - 7, 1 - 4 - 6, 1 - 4 - 7, 1 - 4 - 8, 1 - 5 - 6, 1 - 5 - 7, 1 - 5 - 8 e 1 - 5 - 9. Portanto, teremos 10 triângulos que contém o centro do eneágono para o vértice 1, o que nos leva a (10 × 9)÷3 = 30 triângulos ao todo.

Vamos ao nosso último exemplo, no caso, o undecágono.

Visualmente, podemos, mais uma vez, identificar, fixado o vértice A=1, os triângulos que contém o centro, quais sejam, os triângulos 1 - 2 - 7, 1 - 3 - 7, 1 - 3 - 8, 1 - 4 - 7 , 1 - 4 - 8 , 1 - 4 - 9, 1 - 5 - 7 , 1 - 5 - 8 , 1 - 5 - 9 , 1 - 5 - 10, 1 - 6 - 7, 1 - 6 - 8, 1 - 6 - 9, 1 - 6 - 10 e 1 - 6 - 11. Portanto, temos, para o vértice fixado 15 triângulos, o que nos leva a um total de (15 × 11)÷3 = 55 triângulos ao todo.

Agora, o que temos de fazer é identificar um padrão, para podermos contar o caso geral. Podemos identificar o seguinte padrão: Fixado um vértice, o vértice de número 2 forma um triângulo, o de número 3 forma dois, o de número 4 forma três e assim sucessivamente. Mas há um último 2º vértice, que corresponde ao vértice anterior ao que forma triângulo com o vértice de número 2. Este vértice, no caso do pentágono é o 3º; no caso do heptágono, é o 4º; no caso do eneágono é o 5º e no caso do undecágono é o 6º. A partir deste vértice, todos os demais vértices seguintes formam com ele triângulos que contém o centro do círculo. Temos de calcular o número destes triângulos para podermos chegar ao caso geral. Observe na tabela a seguir a relação que podemos fazer:

Polígono Regular	n	2n + 1	último 2º vértice	nº de triângulos
				do último 2º vértice
Pentágono	2	5	3	2
Heptágono	3	7	4	3
Eneágono	4	9	5	4
Undecágono	5	11	6	5

Podemos notar que o número de triângulos do último 2º vértice coincide com o valor de n. Para encontrarmos o número total de triângulos para um vértice fixado, necessitemos encontrar, então, o valor da soma 1 + 2 + ... + n. Mas esta soma corresponde à soma de uma PA, ou seja, temos que S = ((a₁ + a_n)n)/(2) = ((1 + n)n)/(2) = (n(n + 1))/(2). Até aqui calculamos o número de triângulos para um determinado vértice fixado. Para encontrarmos o total, tomamos este número, multiplicamos pelo número de vértices, que é 2n + 1, e dividimos por 3. Então, o número de triângulos que contém o centro da circunferência será dado por (n(n + 1)(2n + 1))/(6). Veja que, no caso do pentágono, temos n = 2 e o número de triângulos será (2 × 3 × 5)/(6) = 5, no caso do heptágono teremos n=3 e o número de triângulos será (3 × 4 × 7)/(6) = 14 , e assim sucesssivamente.

O número total de triângulos pode ser calculado como C³_2n + 1 = ((2n + 1)!)/((2n − 2)!3!) = ((2n + 1)(2n)(2n − 1))/(6). Finalmente, temos a probabilidade procurada como sendo:

P = ((n(n + 1)(2n + 1))/(6))/(((2n + 1)(2n)(2n − 1))/(6)) = ((n + 1))/(2(2n − 1))

2 Solução 2

Esta solução foi proposta por um dos colegas da turma do PROFMAT - UFPI (2010), salvo engano, o colega Helder. Vamos usar a figura do eneágono como referência a uma figura qualquer.

Como o número de vértices é igual a 2n + 1,  então, ao fixarmos um deternimado vértice, digamos, o vértice A, teremos como separar, usando a mediatriz do lado oposto ao vértice, n vértices de um lado e n vértices do outro, conforme mostra a figura. Note que, em relação ao vértice A, os triângulos que não contém o centro do círculo são exatamente estes que ficam em cada lado. O △ABE é um exemplo destes triângulos, assim como o △AIF . Assim, de cada lado da reta temos uma combinação de n vértices 2 a 2 que determina o número de triângulos daquele lado que não passam pelo centro. Desta forma, para um vértice, teremos 2(C²_n) = (2(n!))/((n − 2)!2!) = (n!)/((n − 2)!) = n(n − 1) triângulos. Para contarmos estes triângulos, podemos notar que, para cada triângulo que contamos ao fixarmos um vértice, ele será contato mais uma vês, com relação a um outro vértice. Por exemplo, o △ABE será contado ao isolarmos o vértice A e ao isolarmos o vértice E, mas não será contado ao isolarmos o vértice B, pois, neste caso, os demais vértices ficarão em lados opostos. Assim, devemos multiplicar o número de triângulos pelo número de vértices, que é (2n + 1) e dividir por 2. Chegamos então ao número de triângulos que não contém o centro do círculo, que será dado por (n(n − 1)(2n + 1))/(2). Para encontrarmos o número de triângulos que contém o centro, deeremos tomar a diferença. O total de triângulos é dado por C³_2n + 1 = ((2n + 1)!)/((2n − 2)!3!) = ((2n + 1)2n(2n − 1))/(6) = (n(2n + 1)(2n − 1))/(3) . Temos então de subtrair (n(2n + 1)(2n − 1))/(3) − (n(n − 1)(2n + 1))/(2) = (n(2n + 1)[(4n − 2) − (3n − 3))/(6) = (n(2n + 1)(n + 1))/(6). Note que este resultado coincide com o encontrado na solução 1 para o número de triângulos que contém o centro do círculo. A finalização da solução a partir daqui é idêntica à já apresentada na solução1.

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