Questões Comentadas de Matemática

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 25/11/2013 Exercício : Apresente um exemplo de uma coleção contável de conjuntos finitos A 1 ,  A 2 , ⋯ cuja união não é um conjunto finito. Respostas : a) Se definirmos cada conjunto assim: A i  = { i } onde i  ∈ ℕ , a união destes conjuntos unitários corresponderá aos naturais. b) Seja, então, A i  = { número de divisores naturais do número i } , então, cada A i será um conjunto finito, mas, como os números primos são infinitos, a união infinita será um conjunto infinito. Exercício : Apresente um exemplo de uma coleção contável de conjuntos infinitos A 1 ,  A 2 , ⋯ com A j ∩ A k sendo infinito para todo j ,  k , de tal forma que ∩ ∞ j  = 1 A j é um conjunto finito não vazio. Resposta : Bem, temos que cada conjunto A i é infinito, a interseção entre quaisquer pares de conjuntos deve ser infinita, mas a interseção infinita de todos eles deve ser não vazia

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 25/11/2013 Exercicio : Encontre todos os valores naturias de n tais que n 2  < 2 n Vamos começar identificando um valor para n , por tentativa e erro. Assim, fazendo n  = 4 teremos 16 < 16 e que para n  = 5 teremos 25 < 32 . Tudo indica que estes valores de n serão {1, 2, 3} , mas, para nos certificarmos, teremos de provar que n 2  < 2 n para n  > 4 , visto que, para n  = 4 já verificamos que ocorre a igualdade. Vamos então provar, usando a indução, que, para n  > 4 , esta relação permanece verdadeira. Prova : (I) Para n  = 5 , já verificamos. (II) Consideremos válido para n  > 5 . Então, vamos verificar se vale para n  + 1 , ou seja, vamos verificar a seguinte implicação: n 2  < 2 n  ⇒ ( n  + 1) 2  < 2 ( n  + 1) Começando por nossa hipótese, podemos completar o quadrado do primeiro membro. Temos, então, que n 2  + 2 n  

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 25/11/2013 Exercicio : Encontre o menor natural n tal que 2( n  + 5) 2  <  n 3 e chame-o de n 0 . Mostre que 2( n  + 5) 2  <  n 3 para todo n  ≥  n 0 . Vamos começar identificando um valor para n 0 , por tentativa e erro. Assim, fazendo n  = 4 teremos 162 < 64 , que não serve. Então tomamos n  = 5 e temos 200 < 125 . Para n  = 6,  temos 242 <  216. Para n  = 7 , temos 288 < 343 . Então nosso n 0  = 7 . Vamos então provar, usando a indução, que, para n  >  n 0 , esta relação permanece verdadeira. Prova : (I) Para n 0  = 7 , já verificamos. (II) Consideremos válido para n  >  n o . Então, vamos verificar se vale para n  + 1 , ou seja, vamos verificar a seguinte implicação: 2( n  + 5) 2  <  n 3  ⇒ 2( n  + 6) 2  < ( n  + 1) 3 Vamos completar o cubo ( n  + 1) 3 no segundo membro da inequação e desenvolver. Temos, então, que 2

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 25/11/2013 Exercicio : Prove que n 3  + 5 n é divisível por 6 para todo n  ∈ ℕ . Prova : (I) Para n  = 1 , é imediato. (II) Consideremos válido para n . Então, vamos verificar se vale n 3  + 5 n  = 6 k  ⇒ ( n  + 1) 3  + 5( n  + 1) = 6 t Vamos completar o cubo ( n  + 1) 3 a partir de n 3 e 5( n  + 1) a partir de 5 n . Temos, então, que n 3  + 5 n  = 6 k  ⇒  n 3  + 3 n 2  + 3 n  + 1 + 5 n  + 5 = 6 k  + 3 n 2  + 3 n  + 6 ⇒  ( n  + 1) 3  + 5( n  + 1) = 6 k  + 3 n 2  + 3 n  + 6 = 6 k  + 3( n 2  +  n  + 2) =  6 k  + 3[ n ( n  + 1) + 2) Note que a parcela n ( n  + 1) corresponde ao produto entre um número natural pelo seu sucessor, logo, um deles é par. Assim, podemos dizer que n ( n  + 1) = 2 m , o que nos leva a concluir que ( n  + 1) 3  + 5( n  + 1) = 6 k  + 3(2 m  + 2) = 6 k  + 6( m  + 1) = 6( k  +  m  + 1) ■ Document generated by eLyXe

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 22/11/2013 Exercicio : Prove que 1 3  + 2 3  + ⋯ +  n 3  =  ⎛ ⎝ ( n ( n  + 1) )/( 2 ) ⎞ ⎠ 2 para todo n  ∈ ℕ . Prova : (I) Para n  = 1 , é imediato. (II) Consideremos válido para n , e vamos provar que é válido para n  + 1 . Então, temos que 1 3  + 2 3  + ⋯ +  n 3  =  ⎛ ⎝ ( n ( n  + 1) )/( 2 ) ⎞ ⎠ 2  ⇒  1 3  + 2 3  + ⋯ +  n 3  + ( n  + 1) 3  =  ⎛ ⎝ ( n ( n  + 1) )/( 2 ) ⎞ ⎠ 2  + ( n  + 1) 3  =  ⎛ ⎝ ( n ( n  + 1) )/( 2 ) ⎞ ⎠ 2  +  ( 4( n  + 1) 3 )/( 4 )  =  ( n 2 ( n  + 1) 2  + 4( n  + 1) 3 )/( 4 )  =  ( ( n  + 1) 2 [ n 2  + 4 n  + 4] )/( 4 )  =  ( ( n  + 1) 2 ( n  + 2) 2 )/( 4 )  =  ⎛ ⎝ ( ( n  + 1)( n  + 2) )/( 2 ) ⎞ ⎠ 2 ■ Document generated by eLyXer 1.2.5 (2013-03-10) on 2013-12-02T23:43:55.143600

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 22/11/2013 Exercicio : Prove que ( 1 )/( 1⋅2 )  +  ( 1 )/( 2⋅3 )  + ⋯ +  ( 1 )/( n ( n  + 1) )  =  ( n )/( n  + 1 ) para todo n  ∈ ℕ . Prova : (I) Para n  = 1 , é imediato. (II) Consideremos válido para n e vamos mostrar que é válido para n  + 1 . Então, temos que ( 1 )/( 1⋅2 )  +  ( 1 )/( 2⋅3 )  + ⋯ +  ( 1 )/( n ( n  + 1) )  =  ( n )/( n  + 1 )  ⇒  ( 1 )/( 1⋅2 )  +  ( 1 )/( 2⋅3 )  + ⋯ +  ( 1 )/( n ( n  + 1) )  +  ( 1 )/( ( n  + 1)( n  + 2) )  =  ( n )/( n  + 1 )  +  ( 1 )/( ( n  + 1)( n  + 2) )  =  ( n ( n  + 2) + 1 )/( ( n  + 1)( n  + 2) )  =  ( n 2  + 2 n  + 1 )/( ( n  + 1)( n  + 2) )  =  ( ( n  + 1) 2 )/( ( n  + 1)( n  + 2) )  =  ( n  + 1 )/( n  + 2 ) ■ Document generated by eLyXer 1.2.5 (2013-03-10) on 2013-12-02T23:38:51.742139