Questões Comentadas de Matemática

A Matemática é uma paixão de infância, e que, ainda hoje, se mantém acesa em mim. Mas minha relação com a Matemática se dá por meio dos matemáticos, aí a coisa pega. Às vezes demoro a compreendê-la, o que, por vezes também, me desanima. Aí eu dou um tempo, procuro uma outra fonte, insisto, e, assim, tenho conseguido conquistá-la paulatinamente. Sabe, acho que a comunicação matemática é um problema. Em minha interpretação, os matemáticos, após insistirem, vivenciarem, pesquisarem e testarem, conseguem uma boa assimilação de um conhecimento, ou conseguem construir novos conhecimentos matemáticos. Entretanto, quando vão comunicar, se esquecem de todo o esforço que tiveram e costumam ser diretos, sintéticos e, às vezes, deixando certa soberba escapar. Afinal, não deixa de ser tentador imaginar-se mais inteligente diante da dificuldade de seus ouvintes de alcançar o seu pensamento, traduzido em discurso. Prefiro não acreditar nesta última possibilidade! Mas, ainda assim, acho que temos um

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 19/11/2013 Exercicio : Prove que n  < 2 n por indução. Prova : (I) Para n  = 1 temos 1 < 2 . (II) Consideremos P ( n ): =  n  < 2 n como verdadeira. Mas se n  < 2 n então n  + 1 < 2 n  + 1 e 2 n  + 1 < 2 n  + 2 n , logo, n  + 1 < 2 n  + 2 n , ou seja, n  + 1 < 2 n  + 1 . ■ Exercicio : Prove que para um conjunto finito A de cardinalidade n , a cardinalidade de P ( A ) é igual a 2 n . Prova : ( Indução ) (I) P ( φ ) = { φ } e se A é um conjunto unitário, P ( A ) = { φ ,  A } ; (II) Suponhamos verdadeira a proposição P ( n ): = | P ( A )| = 2 n . Vamos considerar o conjunto A n de n elementos e o acréscimo de mais um elemento, digamos, o elemento a n  + 1 , formando o conjunto A n  + 1 . Todos os subconjuntos do conjunto A n também são subconjuntos de A n  + 1 . Além disto, todos os subconjuntos do conjunto A n não

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 19/11/2013 Seja A △ B a diferença simétrica entre os conjuntos A e B , ou seja, o conjunto dos elementos que pertencem ou ao conjunto A ou ao conjunto B , mas não a ambos os conjuntos. b) Prove que A △ B  = ( A \ B )∪( B \ A ) c) Prove que A △ B  = ( A ∪ B )\( A ∩ B ) . Prova : (b) se x  ∈ ( A \ B )∪( B \ A ) então x  ∈ ( A \ B ) ou x  ∈ ( B \ A ) . Na primeira possibilidade, x  ∈  A e x ∉ B ; na segunda, x  ∈  B e x ∉ A . (c) se x  ∈ ( A ∪ B )\( A ∩ B ) então x  ∈  A ou x  ∈  B mas x ∉( A ∩ B ) ou seja, a ambos. ■ Document generated by eLyXer 1.2.3 (2011-08-31) on 2013-11-23T12:00:09.163486

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 18/11/2013 Prove: a) A ∩( B ∪ C ) = ( A ∩ B )∪( A ∩ C ) ; e b) A ∪( B ∩ C ) = ( A ∪ B )∩( A ∪ C ) . Prova : (a) Se x  ∈  A ∩( B ∪ C ) então x  ∈  A e x  ∈ ( B ∪ C ) . Se tivermos x  ∈  B , então x  ∈ ( A ∩ B ) ; se x  ∈  C então x  ∈ ( A ∩ C ) . Logo, x  ∈ ( A ∩ B ) ou x  ∈ ( A ∩ C ) , ou seja, x  ∈ ( A ∩ B )∪( A ∩ C ) . Por outro lado, se tivermos x  ∈ ( A ∩ B )∪( A ∩ C ) , então x  ∈ ( A ∩ B ) ou x  ∈ ( A ∩ C ). Caso x  ∈ ( A ∩ B ) então x  ∈  A e x  ∈  B . Mas se x  ∈  B , então x  ∈ ( B ∪ C ) , logo x  ∈  A ∩( B ∪ C ) . O outro raciocínio é análogo. (b) Se x  ∈  A ∪( B ∩ C ) então x  ∈  A ou x  ∈ ( B ∩ C ) . Caso x  ∈  A então x  ∈  A ∪ B e x  ∈  A ∪ C , logo x  ∈ ( A ∪ B )∩( A ∪ C ) . Suponhamos, então, que x  ∈ ( B ∩ C ) . Neste caso, x  ∈  B e x  ∈  C . Logo x  ∈  B ∪ A e x  ∈  C ∪ A e, consequentemente, x  ∈ ( A ∪ B )∩( A ∪ C ) . Reciproca

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 18/11/2013 Prove a seguinte proposição: Proposição : Seja f : A  →  B e sejam C e D subconjuntos de B , então: i) f  − 1 ( C ∪ D ) =  f  − 1 ( C )∪ f  − 1 ( D ) ; ii) f  − 1 ( C ∩ D ) =  f  − 1 ( C )∩ f  − 1 ( D ) ; e iii) f  − 1 ( B \ C ) =  A \ f  − 1 ( C ) . Prova : (i) Se x  ∈  f  − 1 ( C ∪ D ) temos apenas duas possibilidades, f ( x ) ∈  C ou f ( x ) ∈  D . Mas se f ( x ) ∈  C então x  ∈  f  − 1 ( C ) , e se f ( x ) ∈  D então x  ∈  f  − 1 ( D ) . Logo, x  ∈  f  − 1 ( C ) ou x  ∈  f  − 1 ( D ) , ou seja, x  ∈  f  − 1 ( C )∪ f  − 1 ( D ). Por outro lado, caso x  ∈  f  − 1 ( C )∪ f  − 1 ( D ) então x  ∈  f  − 1 ( C ) ou x  ∈  f  − 1 ( D ) . Se x  ∈  f  − 1 ( C ) , então x  ∈  f  − 1 ( C ∪ D ) . O mesmo ocorre caso tenhamos x  ∈  f  − 1 ( D ) . (ii) Se x  ∈  f  − 1 ( C ∩ D ) então f ( x ) ∈ ( C ∩ D ) . Suponha que x ∉ f  − 1 ( C ) . Caso isto oc

Real Analysis - Capítulo Zero Real Analysis - Capítulo Zero Fernando Francisco de Sousa Filho 14/11/2013 Prove que o principio da Indução Forte é equivalente ao principio da Indução Fraca. Prova: (Indução Forte  ⇒  Indução Fraca) Em ambas, temos que P (1) =  V . Então vamos considerar o segundo passo. Na indução forte temos que, dado r  ∈ ℕ , com 1 ≤  r  ≤  k , então, P ( r ) =  V  ⇒  P ( k  + 1) =  V . Ora, se P ( r ) =  V para todo 1 ≤  r  ≤  k , então, tomando apenas o maior valor para r ,  teremos P ( k ) =  V . Por hipótese, P ( k  + 1) =  V logo, o princípio da indução forte implica o principio da indução fraca. (Indução Fraca  ⇒  Principio da Boa Ordenação) Consideremos que: i) P (1) =  V ; e ii) P ( n ) =  V  ⇒  P ( n  + 1) =  V . Seja A  ⊂ ℕ um conjunto não vazio. Seja X  ⊂ ℕ tal que X  = ℕ\ A . Consideremos a proposição P ( x ): =  x  ∈  X . Se aplicarmos a indução fraca a P ( x ) e ela se verificar, concluiremos que X  = ℕ . Por contrapos

Capítulo 3 - Questão 4 Livro Curso de Análise - Vol.1 - Elon Capítulo 3 - Questão 4 Fernando Francisco de Sousa Filho 12 de novembro de 2013 Sejam K ,  L corpos. Uma função f : K  →  L chama-se um homomorfismo quando se tem f ( x  +  y ) =  f ( x ) +  f ( y ) e f ( x ⋅ y ) =  f ( x )⋅ f ( y ) , quaisquer que sejam x ,  y  ∈  K . i) Dado um homomorfismo f : K  →  L , prove que f (0) = 0 . Prova : f (0) =  f (0 + 0) =  f (0) +  f (0) ⇒  f (0) = 2 f (0) . Se f (0) ≠ 0,  pela lei do corte, chegamos a 1 = 2 (Absurdo!). Logo, f (0) = 0 . ■ ii) Prove também que ou f ( x ) = 0 para todo x  ∈  K ou então f (1) = 1 e f é injetiva. Prova : Suponhamos f ( x ) = 0 para todo x  ∈  K , então teremos a) f ( x  +  y ) = 0 , mas f ( x  +  y ) =  f ( x ) +  f ( y ) = 0 + 0 = 0. b) f ( xy ) = 0 , mas f ( xy ) =  f ( x )⋅ f ( y ) = 0⋅0 = 0 . Logo, confirma-se a primeira possibilidade. Vamos mostrar, então, que, se f (1) ≠ 0 então f (1) = 1 .Suponhamos f (1