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Mostre que, se $(X_n)$ é uma progressão aritmética de termos positivos então

$\dfrac{1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} +\dfrac{1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{x_{n-1}} + \sqrt{x_n}} = \dfrac{n-1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}}$ Uma dica (pode haver outras formas de resolver) é usar uma indução sobre $n$ Então, começamos verificando que a expressão é verdadeira para $n=2$ (verifica!) Agora, vamos nos ver com uma hipótese: a de que se a expressão é válida para $n$ então será válida para $n + 1$. Se a expressão é válida para $n$ podemos verificar se a seguinte expressão é verdadeira: $\dfrac{n-1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}} + \dfrac{1}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x_{n+1}}} =  \dfrac{n}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}}}$   Agora podemos fazer:   $\dfrac{n}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}} - \dfrac{n}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}} - \dfrac{1}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x_{n+1}}}$ $\dfrac{n(\sqrt{x_{n+1}} - \sqrt{x_{n})}}{(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}) (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}})} = \dfrac{(\sqrt{x_{n+1}} - \sqrt{x_{1})}}
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Explicando a tabela lógica do Se... então

 Eu sempre me incomodei bastante com a tabela do Se... então (implicação). Afinal, a tabela do "e" e a tabela do "ou" são bastante lógicas, se é que eu posso usar este termo numa disciplina que se chama lógica! Poderia dizer também que são tabelas que fazem sentido, afinal, o "e" só resulta "V" se ambos forem "V"; e o "ou" só resulta "F" se ambos forem "F". Mas, e quanto à implicação? Tive minha curiosidade atendida no livro de DAVID J. HUNTER, Fundamentos da Matemática Discreta, em um breve trecho. Esta postagem é uma adaptação minha do que consta lá! Então, podemos usar diversos exemplos! Eu vou usar dois que eu inventei ao escrever esta postagem, e, depois, vou repetir o exemplo do livro citado. Suponha que uma mãe diga o seguinte a seu filho Mateus: Filho, se você fizer todos os exercícios de Matemática, vai tirar nota boa na prova. Suponha então que Mateus quisesse negar este conselho de sua mãe, prova
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Deslocamentos de funções e lugares geométricos no plano.

  Parei para tentar entender o motivo de, sempre que desejamos deslocar para a direita uma função, por exemplo, subtraímos ao invés de adiconarmos. Assim, se queremos deslocar para a direita, em duas unidades inteiras, a função quadrática $f(x) = x^2 - 2x + 1$, basta substituirmos $x$ por $x - 2$, ou alterarmos a variável para $w$, fazendo $x = w - 2$. Então, minha reflexão levou-me ao seguinte questionamento: quando deslocamos nossa figura para a direita em duas unidades inteiras, qual a imagem que desejamos obter de $x = 3$? bem desejamos obter a imagem de $ x = 1 $ na figura original, ou seja, o que fazemos é tomar $x=3$ na figura deslocada e voltarmos para buscarmos a imagem de $x=1$ da figura original, obtendo, assim, o efeito de deslocar o gráfico para a direita em 2. Eis, então, a razão de subtrairmos. Assim, ao deslocarmos nossa figura em duas unidades inteiras para a direita, a imagem de $x = 3$ tem de ser buscar a imagem de $x = 1$ da figura original, ou seja, substituímos $x
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Como deduzir a fórmula de Báskara para equações do segundo grau?

Esta é uma demonstração algébrica para a equação do segundo grau. De fato, esta equação costuma ser simplesmente apresentada assim: dados os números reais $a, b, c$, com $a \neq 0$ então as soluções reais da equação $ax^2 + bx + c = 0$ serão dadas por: $$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ onde o sinal $\pm$ irá significar que uma solução será obtida com o sinal de $+$ e a outra com o sinal de $-$ . Note como certas coisas em Matemática são intuitivas: caso a expressão ${b^2 - 4ac}$ seja igual a zero, então não haverá distinção entre adicionar ou subtrair zero, logo, a equação terá apenas uma solução. Por outro lado, a expressão $b^2 - 4ac$ pode ser negativa, e as raízes quadradas somente estão definidas, no universo dos números reais, para números positivos. Concluímos, então, que, caso $b^2 - 4ac < 0$ então a equação não terá raiz real. Isto não é lógico? O valor $b^2 - 4ac$ é representado pela letra $\Delta$ (delta), assim, dizemos que $\Delta = b^2
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Responda rápido: quanto é 89 x 91?

Você já notou que, na tabuada, que 7 x 9 = 63 e que 8² = 64. Notou também que 3 x 5 = 15 e que 4² = 16. A explicação desta simples constatação e sua generalização está nos produtos notáveis, mas especificamente na famosa relação que nos diz que (a + b)(a - b) = a² - b², logo, se tivermos b = 1, teremos que (a + 1)(a - 1) = a² - 1, já que 1² = 1. Desta forma, a nossa resposta à pergunta inicial seria 90² - 1 = 8100 - 1 = 8099. Não é interessante? Você já havia percebido esta relação na nossa tabuada? Esta e outras conclusões interessantes podem ser encontradas no livro "Tabuada para quem odeia decorar" que encontra-se disponível na loja da Uiclap, link abaixo. O preço? se comparado ao benefício, você verá que não custa praticamente nada.  https://loja.uiclap.com/titulo/ua29201 O Livro "Tabuada para quem odeia decorar" é praticamente um caderno de exercícios sobre a operação de multiplicação. Ele trata, inicialmente, de métodos para aprender a tabuada com o mínimo de
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Apoie o Livro: Conspiração dos Monstros

Este livro é um projeto de contar uma história de ficção com Matemática. Nele, diversos tópicos importantes são apresentados, dentre eles: a atividade em grupo, a persistência, a redução do problema que antecede a solução de um problema maior, além de valores como o da amizade e do desenvolvimento em grupo. Para encontrar o livro, basta procurar por "Conspiração dos Monstros" no google. O livro está disponível na Amazon. E o apoio que se pede aqui é apenas o de conhecer a proposta, gratuitamente, dando uma breve olhadela no Capítulo I, que fica disponível no ambiente da Amazon, no link "Dê uma olhada". A proposta é de um paradidático diferente! mas que pode despertar valores, como a paixão pelo estudo e pelo desenvolvimento da sociedade.
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Soroban - Técnicas para adição, subtração, multiplicação e divisão

Segue link do meu trabalho com diversas técnicas de manipulação do soroban, com exemplos e figuras mostrando os estágios de cada movimento. Apesar de extenso, o leitor pode ir direto ao capítulo que lhe interessa, sem necessariamente ler os anteriores. O Soroban e sua Aritmética Concreta - Fernando F de S Filho Caso o link não funcione, o leitor pode acessar o banco de dissertações do PROFMAT , e procurar pelo trabalho "O Soroban e sua Aritmética Concreta". 
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