Questões Comentadas de Matemática

$\dfrac{1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} +\dfrac{1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{x_{n-1}} + \sqrt{x_n}} = \dfrac{n-1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}}$ Uma dica (pode haver outras formas de resolver) é usar uma indução sobre $n$ Então, começamos verificando que a expressão é verdadeira para $n=2$ (verifica!) Agora, vamos nos ver com uma hipótese: a de que se a expressão é válida para $n$ então será válida para $n + 1$. Se a expressão é válida para $n$ podemos verificar se a seguinte expressão é verdadeira: $\dfrac{n-1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}} + \dfrac{1}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x_{n+1}}} =  \dfrac{n}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}}}$   Agora podemos fazer:   $\dfrac{n}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}} - \dfrac{n}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}} - \dfrac{1}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x_{n+1}}}$ $\dfrac{n(\sqrt{x_{n+1}} - \sqrt{x_{n})}}{(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}) (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}})} = \dfrac{(\sqrt{x_{n+1}} - \sqrt{x_{1})}}

 Eu sempre me incomodei bastante com a tabela do Se... então (implicação). Afinal, a tabela do "e" e a tabela do "ou" são bastante lógicas, se é que eu posso usar este termo numa disciplina que se chama lógica! Poderia dizer também que são tabelas que fazem sentido, afinal, o "e" só resulta "V" se ambos forem "V"; e o "ou" só resulta "F" se ambos forem "F". Mas, e quanto à implicação? Tive minha curiosidade atendida no livro de DAVID J. HUNTER, Fundamentos da Matemática Discreta, em um breve trecho. Esta postagem é uma adaptação minha do que consta lá! Então, podemos usar diversos exemplos! Eu vou usar dois que eu inventei ao escrever esta postagem, e, depois, vou repetir o exemplo do livro citado. Suponha que uma mãe diga o seguinte a seu filho Mateus: Filho, se você fizer todos os exercícios de Matemática, vai tirar nota boa na prova. Suponha então que Mateus quisesse negar este conselho de sua mãe, prova

  Parei para tentar entender o motivo de, sempre que desejamos deslocar para a direita uma função, por exemplo, subtraímos ao invés de adiconarmos. Assim, se queremos deslocar para a direita, em duas unidades inteiras, a função quadrática $f(x) = x^2 - 2x + 1$, basta substituirmos $x$ por $x - 2$, ou alterarmos a variável para $w$, fazendo $x = w - 2$. Então, minha reflexão levou-me ao seguinte questionamento: quando deslocamos nossa figura para a direita em duas unidades inteiras, qual a imagem que desejamos obter de $x = 3$? bem desejamos obter a imagem de $ x = 1 $ na figura original, ou seja, o que fazemos é tomar $x=3$ na figura deslocada e voltarmos para buscarmos a imagem de $x=1$ da figura original, obtendo, assim, o efeito de deslocar o gráfico para a direita em 2. Eis, então, a razão de subtrairmos. Assim, ao deslocarmos nossa figura em duas unidades inteiras para a direita, a imagem de $x = 3$ tem de ser buscar a imagem de $x = 1$ da figura original, ou seja, substituímos $x

Esta é uma demonstração algébrica para a equação do segundo grau. De fato, esta equação costuma ser simplesmente apresentada assim: dados os números reais $a, b, c$, com $a \neq 0$ então as soluções reais da equação $ax^2 + bx + c = 0$ serão dadas por: $$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ onde o sinal $\pm$ irá significar que uma solução será obtida com o sinal de $+$ e a outra com o sinal de $-$ . Note como certas coisas em Matemática são intuitivas: caso a expressão ${b^2 - 4ac}$ seja igual a zero, então não haverá distinção entre adicionar ou subtrair zero, logo, a equação terá apenas uma solução. Por outro lado, a expressão $b^2 - 4ac$ pode ser negativa, e as raízes quadradas somente estão definidas, no universo dos números reais, para números positivos. Concluímos, então, que, caso $b^2 - 4ac < 0$ então a equação não terá raiz real. Isto não é lógico? O valor $b^2 - 4ac$ é representado pela letra $\Delta$ (delta), assim, dizemos que $\Delta = b^2