Questões Comentadas de Matemática

Supremo de Conjunto com Máximo, Supremo de Intervalo Aberto e um Exemplo Misto (Elon) Supremo de Conjunto com Máximo, Supremo de Intervalo Aberto e um Exemplo Misto (Elon) Fernando Francisco de Sousa Filho 29/07/2016 Exemplo 10: Se x  ⊂  K possui um elemento máximo, este será o seu supremo, e se X possuir um elemento mínimo, este será seu ínfimo. Reciprocamente, se supX  ∈  X então supX é seu máximo; se infX  ∈  X então infX é seu mínimo. Seja b o elemento máximo de X , assim, b é cota superior de X , e se x  <  b então x  ∈  X e x não é cota superior de X . Assim, b é a menor das cotas superiores, até porque, às demais cotas superiores só resta ser maior do que b , logo b  =  supX . Reciprocamente, supX  ∈  X implica que, dado x  <  supX existe x ’ ∈  X tal que x  <  x ’ <  supX , logo x  <  supX  ⇒  x não é o elemento máximo de X . Por outro lado, y  >  supX  ⇒  y ∉ X , logo, como supX  ∈  X temos que supX é o elemento máximo

A Propriedade Arquimediana dos Reais e a Densidade de em por Rudin (pág. 9) A Propriedade Arquimediana dos Reais e a Densidade de ℚ em ℝ por Rudin (pág. 9) Fernando Francisco de Sousa Filho 21/07/2016 (a) Se x  ∈ ℝ,   y  ∈ ℝ,  e x  > 0 então existe um inteiro positivo n tal que nx  >  y (b) Se x  ∈ ℝ,   y  ∈ ℝ,  e x  <  y então existe um p  ∈ ℚ tal que x  <  p  <  y . A parte (a) é conhecida como a propriedade arquimediana dos reais. A parte (b) pode ser descrita assim: ℚ é denso em ℝ , ou seja, entre quaisquer dois números reais existe um número racional. Prova (a) Seja A o conjunto de todos os elementos nx , onde n pode assumir qualquer valor inteiro positivo. Se (a) fosse falsa, teríamos nx  ≤  y , ou seja, y seria uma cota superior do conjunto A . Por outro lado, A é subconjunto dos reais, portanto, se é limitado superiormente, possui a menor cota superior dentro de ℝ . Seja então α  =  supA . Como x  > 0 e x  ∈  A te

O conjunto das raízes quadradas de 2 por falta não possui máximo O conjunto das raízes quadradas de 2 por falta não possui máximo Fernando Francisco de Sousa Filho 05/07/2016 Exercício: Prove que o conjunto E das raízes quadradas de 2 por falta não tem máximo. Seja r um número tal que r ²  < 2 . Temos de mostrar que, qualquer que seja o número r , existe um outro número s tal que ⎧ ⎨ ⎩ r  <  s      r ²  <  s ²  < 2  A ideia inicial é tomarmos s  =  r  +  ( 1 )/( n ) , com n  ∈ ℕ , n  > 0 . Fazendo assim, garantimos que teremos r  <  s . Vamos, então, procurar determinar, dado um r qualquer com r ²  < 2 , um valor de n de tal forma que r ²  <  s ²  < 2 . Agora, tanhamos fé... s ²  =  r ²  +  ( 2 r )/( n )  +  ( 1 )/( n ² )  < 2 Desenvolvendo a inequação, temos: r ²  +  ( 2 r )/( n )  +  ( 1 )/( n ² )  < 2 ⇒  r ²  +  ⎛ ⎝ 2 r  +  ( 1 )/( n ) ⎞ ⎠ ( 1 )/( n )  < 2 Aqui entra um ponto importante