$\dfrac{1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} +\dfrac{1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{x_{n-1}} + \sqrt{x_n}} = \dfrac{n-1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}}$ Uma dica (pode haver outras formas de resolver) é usar uma indução sobre $n$ Então, começamos verificando que a expressão é verdadeira para $n=2$ (verifica!) Agora, vamos nos ver com uma hipótese: a de que se a expressão é válida para $n$ então será válida para $n + 1$. Se a expressão é válida para $n$ podemos verificar se a seguinte expressão é verdadeira: $\dfrac{n-1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}} + \dfrac{1}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x_{n+1}}} = \dfrac{n}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}}}$ Agora podemos fazer: $\dfrac{n}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}} - \dfrac{n}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}} - \dfrac{1}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x_{n+1}}}$ $\dfrac{n(\sqrt{x_{n+1}} - \sqrt{x_{n})}}{(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_n}) (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_{n+1}})} = \dfrac{(\sqrt{x_{n+1}} - \sqrt{x_{1})}}
Algumas demonstrações que apresento aqui são minhas, resultado do meu esforço, e não posso garantir que estejam corretas (agradeço qualquer comentário). Outras são como que traduções minhas do conteúdo de livros, onde procuro detalhar mais, na tentativa de facilitar a leitura e a compreensão, mas sei que nem sempre consigo isto (comentários são bem vindos).